Berechnung der Extremwerte mit Hilfe der Lagrangschen Multiplikatoren

Question

Aufgabe:

Die affine Ebene \( \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 y+4 z=6\right\} \) schneidet den Kegel \( \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z^{2}=\right. \) \( \left.2 x^{2}+y^{2}\right\} \) längs einer Kurve \( K \).

Welcher Punkt auf \( K \) hat den geringsten Abstand zum Nullpunkt und welcher den größten?

Verwenden Sie zur Berechnung der Extremwerte die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren.

Answer 1

Hauptbedingung Abstand zum Ursprung:$$ A(x,y,z)= \sqrt{x^2+y^2+z^2 }$$
Nebenbedingung I: Ebene$$ 0= 2y+4z-6$$
Nebenbedingung II: Kegel$$0=2x^2+y^2-z^2   $$
Eine erhebliche Erleichterung kann man durch Quadrieren der Hauptbedingung erreichen, da die Diskriminante stets positiv sein wird und die Funktion des Quadrierens im positiven Bereich streng monoton steigend ist. Da wir nur die Extrema suchen, werden diese sich dabei nicht verändern.
$$ A^2(x,y,z)= x^2+y^2+z^2$$
$$\Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)=   x^2+y^2+z^2  + \lambda (  2y+4z-6   )+ \mu  (  2x^2+y^2-z^2     )    $$
partielle Ableitungen:
$$\frac{ \partial \, \Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)}{ \partial \, x}=  2 x+ 4\mu x    $$
$$\frac{ \partial \, \Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)}{ \partial \, y}= 2y+2\lambda   +4 \mu y   $$
$$\frac{ \partial \, \Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)}{ \partial \, z}= 2z  + 4 \lambda -2 \mu  z    $$
$$\frac{ \partial \, \Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)}{ \partial \, \lambda}=    2y+4z-6    $$
$$\frac{ \partial \, \Lambda (x,y,z,\lambda,\mu)}{ \partial \, \mu}=   2x^2+y^2-z^2        $$

Comments

Nullstellen der partiellen Ableitungen:
$$0=  2 x+ 4\mu x    $$
$$0=2y+2\lambda   +4 \mu y   $$
$$0=2z  + 4 \lambda -2 \mu  z    $$
$$0=    2y+4z-6    $$
$$0=   2x^2+y^2-z^2        $$
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$$0=   x+ 2 \mu x    $$
$$0=y+\lambda   +2 \mu y   $$
$$0=z  + 2 \lambda - \mu  z    $$
$$0=    y+2z-3    $$
$$0=   2x^2+y^2-z^2        $$
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$$0=   (1+ 2 \mu ) x    $$
$$0=\lambda  (1 +2 \mu) y   $$
$$0= 2 \lambda (1- \mu ) z    $$
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mögliche kritische Stellen bei:$$\lambda =0 \quad ; \quad \mu=1 \quad ; \quad \mu=-\frac12 \quad ; \quad x=0  \quad ; \quad y=0 \quad ; \quad z=0$$
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$$0=    y+2z-3    $$
$$0=   2x^2+y^2-z^2        $$
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Fall x=0
$$0=    y+2z-3    $$
$$0=  y^2-z^2        $$
$$z= \frac{3-y}2    $$
$$ z^2 = y^2       $$
$$ \frac{9-6y+y^2}4    = y^2       $$
$$9  = 3 y^2  +6y      $$
$$3  =  y^2  +2y      $$
$$3+1  =  y^2  +2y   +1   $$
$$4  =  (y   +1)  ^2  $$
$$\pm 2  =  y   +1  $$
$$y_{1,2}=-1\pm 2   $$

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Fall y=0
$$0=   0+2z-3    $$
$$0=   2x^2+0^2-z^2        $$
$$z=  \frac23    $$
$$0=   2x^2-(\frac23)^2        $$
$$\frac49 =   2x^2        $$
$$\frac29 =   x^2        $$
$$x_{2,3}=\pm  \frac13 \sqrt2     $$
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Fall z=0
$$0=    y-3    $$
$$0=   2x^2+y^2        $$
$$    y_5=3    $$
$$0=   2x^2+9        $$
$$x^2=-\frac32        $$
keine reelle Lösung!

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Hey. Danke für die Antwort, aber eine Frage habe ich: Sag mal hast du dich bei Berechnung der nullstellen leicht vermacht? Müsste die Umformung nicht so lauten: 0=(1+2m)x, 0=lambda+(1+2m)y und 0=2lambda +(1-m)z? Und dann ändern sich doch die kritischen Punkte.

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Ich bin leider noch nicht ganz perfekt ...

... kann aber auch nicht nachvollziehen was Du meinst.

Wenn man anders angeht das System zu lösen, sollte man allerdings auf die gleichen Werte kommen.