Die \(n\) Gleichungen $$(*)\quad x_1+\cdots+x_{i-1}+(1+\lambda)x_i+x_{i+1}+\cdots+x_n=0$$ bilden ein homogenes lineares Gleichungssystem, das noch von dem Parameter \(\lambda\) abhaengt. Wenn die Koeffizientenmatrix regulaer ist, ist \(x=0\) die einzige Lösung, die aber die Nebenbedingung nicht erfuellt. Lösungen, die die Nebenbedingung erfuellen, gibt es also bestenfalls, wenn die Koeffizientenmatrix singulaer ist. Das ist für \(\lambda=0\) oder \(\lambda=-n\) der Fall, und man findet dann auch was.
Die ganze Rechnerei laesst sich aber durch eine Vorueberlegung stark vereinfachen. Ueberlege, wie die Extrema von \(g(x)=x_1+\cdots+x_n\) und \(f(x)=g(x)^2\) zusammenhaengen, und berechne dann die Extrema von \(g\). Das geht sehr bequem in wenigen Zeilen.
PS: Deine Ableitungen \(\partial L/\partial x_i\) sind falsch. Richtig siehe \((*)\). Und sogar Dein \(L\) ist falsch. Die \(-1\) gehoert in die Klammer.
