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Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt ein Erzeugnis in zwei Produktionsstätten \(P1\) und \(P2\) her, wobei jeweils fixe Kosten in Höhe von \(c_{0} = 500\) sowie variable Kosten in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl in Höhe von \(c_{1}(x_{1}) = \frac{1}{2} x_{1} ^ 2\) in \(P1\) und in Höhe von \(c_{2}(x_{2}) = x_{2} ^ 2 + 2x_{2}\) in \(P2\) anfallen. Es sollen 80 Stück des Erzeugnisses kostenminimal produziert werden. Ermitteln Sie, wie die Produktion auf die beiden Produktionsstätten zu verteilen ist,


a) mit der Einsetzmethode,b) mit Hilfe eines Lagrange-Multiplikators____________________________
Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu berechnen? Weil ich verstehe nicht wirklich wie ich da vorgehen soll. Vor allem verstehe ich nicht was mit der Einsatzmethode gemeint ist
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Es sollen 54 Stück in P1 hergestellt werden.

1 Antwort

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Vor allem verstehe ich nicht was mit der Einsatzmethode gemeint ist

Bei der Einsetzmethode (nicht "Einsatzmethode") wird die Nebenbedingung nach einer Variablen umgestellt und das in die Zielfunktion eingesetzt.

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Für a) Ist es dann so gemeint?


\(C(x_1, x_2) = c_0 + c_1(x_1) + c_2(x_2)\)


\(C(x_1, x_2) = 500 + \frac{1}{2} x_1^2 + x_2^2 + 2x_2\)


mit der Nebenbedingung:


\(x_1 + x_2 = 80\)


Und dann die Einsetzmethode

\(x_2 = 80 - x_1\)


\(C(x_1, x_2) = 500 + \frac{1}{2} x_1^2 + (80 - x_1)^2 + 2(80 - x_1)\)

<=> \(C(x_1) = 7060 + \frac{3}{2} x_1^2 - 162x_1\)


Ableitungen


\(C'(x_1) = 0\)


\(C'(x_1) = 3x_1 - 162 = 0 \)

<=> \(x_1 = 54\)


\(x_2\) berechnen:


\(x_2 = 80 - x_1 = 80 - 54 = 26\)


Also ist \(x_1 = 54\) und \(x_2 = 26\) ?

Ja, aber:

Die Fixkosten 500 scheinen zweimal vorzukommen (es steht "wobei jeweils fixe Kosten"), aber es ist egal, ob man Fixkosten von 500 oder 1000 oder 0 oder 718 einsetzt, denn sie sind fix und damit irrelevant für die Stelle mit dem Minimum.

Ah! Ok. Ich glaube ich habe es dann verstanden. Danke!

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