Extremwerte mit Nebenbedingungen

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt ein Erzeugnis in zwei Produktionsstätten \(P1\) und \(P2\) her, wobei jeweils fixe Kosten in Höhe von \(c_{0} = 500\) sowie variable Kosten in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl in Höhe von \(c_{1}(x_{1}) = \frac{1}{2} x_{1} ^ 2\) in \(P1\) und in Höhe von \(c_{2}(x_{2}) = x_{2} ^ 2 + 2x_{2}\) in \(P2\) anfallen. Es sollen 80 Stück des Erzeugnisses kostenminimal produziert werden. Ermitteln Sie, wie die Produktion auf die beiden Produktionsstätten zu verteilen ist,

a) mit der Einsetzmethode,b) mit Hilfe eines Lagrange-Multiplikators____________________________
Kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu berechnen? Weil ich verstehe nicht wirklich wie ich da vorgehen soll. Vor allem verstehe ich nicht was mit der Einsatzmethode gemeint ist

Comments

Es sollen 54 Stück in P1 hergestellt werden.

Answer 1

Vor allem verstehe ich nicht was mit der Einsatzmethode gemeint ist

Bei der Einsetzmethode (nicht "Einsatzmethode") wird die Nebenbedingung nach einer Variablen umgestellt und das in die Zielfunktion eingesetzt.

Comments

Für a) Ist es dann so gemeint?

\(C(x_1, x_2) = c_0 + c_1(x_1) + c_2(x_2)\)

\(C(x_1, x_2) = 500 + \frac{1}{2} x_1^2 + x_2^2 + 2x_2\)

mit der Nebenbedingung:

\(x_1 + x_2 = 80\)

Und dann die Einsetzmethode

\(x_2 = 80 - x_1\)

\(C(x_1, x_2) = 500 + \frac{1}{2} x_1^2 + (80 - x_1)^2 + 2(80 - x_1)\)

<=> \(C(x_1) = 7060 + \frac{3}{2} x_1^2 - 162x_1\)

Ableitungen

\(C'(x_1) = 0\)

\(C'(x_1) = 3x_1 - 162 = 0 \)

<=> \(x_1 = 54\)

\(x_2\) berechnen:

\(x_2 = 80 - x_1 = 80 - 54 = 26\)

Also ist \(x_1 = 54\) und \(x_2 = 26\) ?

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Ja, aber:

Die Fixkosten 500 scheinen zweimal vorzukommen (es steht "wobei jeweils fixe Kosten"), aber es ist egal, ob man Fixkosten von 500 oder 1000 oder 0 oder 718 einsetzt, denn sie sind fix und damit irrelevant für die Stelle mit dem Minimum.

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Ah! Ok. Ich glaube ich habe es dann verstanden. Danke!