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J17. Ein Lektor hat pro Woche mindestens \( 40 \mathrm{~km} \) zurückzulegen, dafür stehen ihm Fahrrad und U-Bahn zur Verfügung. Mit dem Fahrrad schafft er im Schnitt \( 10 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) (aber nur wegen den Ampeln! Sonst wär er mindestens 3x so schnell!!!), mit der U-Bahn \( 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \). Gleichzeitig will er auf seine alten Tage nicht mehr als \( 50 \mathrm{~km} \) pro Woche unterwegs sein. Wir bezeichnen mit \( x \) seine Stunden auf dem Fahrrad, mit \( y \) seine Stunden in der U-Bahn.
Der Lektor will außerdem seine Wahrscheinlichkeit für einen Schnupfen minimieren; um einen Schnupfen zu bekommen, muss er mit Schnupfenviren in Berührung kommen - das passiert in der U-Bahn - UND sein Immunsystem schwächen - das passiert, wenn er zu lange in der Kälte radelt. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verkühlung sei also gegeben durch - Tusch! - eine Cobb-Douglasfunktion:
\( P(x, y)=x^{1 / 2} y^{1 / 3} \)
(Der Wert der Cobb-Douglas-Funktion ist proportional zur Wahrscheinlichkeit für eine Verkühlung. Für die Lösung der Optimierungsaufgabe können Sie mit dem Wert der Cobb-Douglas-Funktion rechnen.)
(a) Formulieren Sie das Optimierungsproblem!
(b) Skizzieren Sie das Optimierungsprpblem und geben Sie alle Lösungen an! Welche Nebenbedingungen sind in den Lösungspunkten jeweils bindend?
(c) Welche Strategie würden ihm Studierende empfehlen, die gerne frei haben möchten und daher seine Verkühlungswahrscheinlichkeit maximieren? Lösen Sie wieder das Problem graphisch, markieren Sie in der Skizze den Lösungspunkt und die bindende NB und verwenden Sie die Kuhn-Tucker-Bedingungen um den Lösungspunkt zu berechnen!
Aufgabe: könnt ihr mir beim Rechenweg von dieser Aufgabe helfen? Danke!
