Spiegelung an der Hyperebene

Question

Es gilt V = Eig(f,1) + Eig(f,-1) (direkte Summe), dim V = n

und dim Eig(f, -1) = 1 also dim Eig(f,1) = n - 1

V ist unitär und K ∈ {C, R} , f ist unitärer Endomorphismus auf V.

Ich will zeigen, dass daraus folgt, dass es einen Einheitsvektor w gibt, so dass  f(v) = v - 2 * < v, w > * w  für alle v∈V.

Vielen Dank!

Comments

Hallo

ich rätsle was Eig(f,1) bedeutet

lul

Answer 1

Nimm ein \(w\in Eig(f,-1)\), normiere es, falls nötig,

so dass du o.B.d.A. in \(w\) einen Einheitsvektor hast.

Für \(v\in Eig(f,1)\) gilt dann, da die Eigenwerte verschieden

sind und \(f\) unitär: \(v\perp w\), so dass \(Eig(f,1)\)

eine Hyperebene aus Fixpunkten darstellt.