Funktion und Ableitungen
fa(x) = x^4 - a·x^2
fa'(x) = 4·x^3 - 2·a·x
fa''(x) = 12·x^2 - 2·a
fa''(x) = 24·x
a) Zeigen Sie, dass der Graph für a ≤ 0 keinen Hochpunkt hat.
Für a ≤ 0 ist "- a·x^2" eine nach oben geöffnete Parabel oder aber konstant 0. Hat also keinen Hochpunk. x^4 ist immer eine nach oben geöffnete Parabel. Die Summe der Terme kann also keinen Hochpunkt haben.
b) Bestimmen Sie für a > 0 die Ortskurve der Tief- und Wendepunkte der Schar.
Tiefpunkte fa'(x) = 0
4·x^3 - 2·a·x = x·(4·x^2 - 2·a) = 0
x = 0
x = ± √(a/2)
fa''(0) = 12·0^2 - 2·a > 0
a < 0
Das kann also kein Tiefpunkt sein.
fa''(√(a/2)) = 12·(√(a/2))^2 - 2·a > 0
a > 0
Ortspunkt der Tiefpunkte
(4·x^2 - 2·a) = 0
a = 2·x^2
fT(x) = x^4 - a·x^2 = x^4 - (2·x^2)·x^2 = - x^4
Tiefpunkte fa''(x) = 0
12·x^2 - 2·a = 0
x = √(a/6)
fa'''(√(a/6)) ≠ 0 --> Wendepunkt
Ortspunkt der Wendepunkte
12·x^2 - 2·a = 0
a = 6·x^2
fW(x) = x^4 - a·x^2 = x^4 - (6·x^2)·x^2 = - 5·x^4
c) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.
fa(x) = fb(x)
x^4 - a·x^2 = x^4 - b·x^2
Eine Lösung ist sicher x = 0. Dann kann ich durch x^2 teilen
x^2 - a = x^2 - b
- a = - b
Weitere Lösungen gibt es keine solange a ≠ b.
d) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt P(1|f(1)). Für welchen Wert von a beträgt die Steigung -0.5?
fa'(1) = 4·x^3 - 2·a·x = 4·1^3 - 2·a·1 = 4 - 2·a
fa'(1) = 4 - 2·a = -0.5
a = 2.25
