Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa(x)=x^2-ax^3+1 (aER). Bestimme die Ortskurve und die zugehörige Gleichung.

Question

Gegeben ist die Funktionenschar fa mit f_a(x)=x²-ax³+1 (a∈ℝ).

Bestimme, dass die Wendepunkte der Schar alle auf einer Parabel liegen und bestimme die zugehörige Gleichung.

Answer 1

Zunächst sind die Ableitungen zu differenzieren: 

f_a(x)= x²-ax³+1 ; a∈ℝ
f_a'(x)= 2x-3ax²
f_a''(x)= 2-6ax
f_a'''(x)= -6a

Zur Bestimmung der Wendepunkte der Schar suchen wir die Nullstellen der zweiten Ableitung:

f_a''(x)= 0 = 2-6ax          |+6ax
⇔   6ax  = 2                 |:6a
⇔       x   = \frac { 1 }{ 3a } mit a\neq 0

Nun prüft man das hinreichende Kriterium, ob die dritte Ableitung an der Stelle x= \frac { 1 }{ 3a } \neq 0 ist:
f_a'''(\frac { 1 }{ 3a })=-6a \neq 0 \forall  a∈ℝ\{0}

Damit können wir uns nun anschauen, wie die Ordinate der Wendepunkte aussieht, indem wir die obige Wendestelle in die "Ursprungsfunktion" f_a einsetzen:
f_a(\frac { 1 }{ 3a })= { \left( \frac { 1 }{ 3a }  \right)  }^{ 2 }-a{ \left( \frac { 1 }{ 3a }  \right)  }^{ 3 }+1

...mit ein wenig Umformung sieht das dann so aus...  = \frac { { 27a }^{ 2 }+2 }{ { 27a }^{ 2 } } 

Somit haben wir nun:

Abszissengleichung:   x   = \frac { 1 }{ 3a }

Ordinatengleichung y=  \frac { { 27a }^{ 2 }+2 }{ { 27a }^{ 2 } }

Die Abszissengleichung formen wir nach a um und erhalten a=\frac { 1 }{ 3x } 
dies setzen wir in die Ordinatengleicung ein und... voilà... erhalten wir die Parabelgleichung die, die Ortskurve durch die Wendepunkte beschreibt:

\Rightarrow \quad y=\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 2 }+1


... de rien ;)

Comments

das sollte eigentlich als TEX abgebildet werden...

wieso geht das nicht !?!?

naja egal kannst die eingaben ja in die TEX-Vorschau kopieren und lesen was da steht ;)

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fa(x)= x2-ax3+1 ; a∈ℝ
fa'(x)= 2x-3ax2
fa''(x)= 2-6ax
fa'''(x)= -6a

Zur Bestimmung der Wendepunkte der Schar suchen wir die Nullstellen der zweiten Ableitung:

fa''(x)= 0 = 2-6ax          |+6ax
⇔  6ax  = 2                |:6a
⇔      x  = \frac { 1 }{ 3a } mit a\neq 0

Nun prüft man das hinreichende Kriterium, ob die dritte Ableitung an der Stelle x= \frac { 1 }{ 3a } \neq 0 ist:
fa'''(\frac { 1 }{ 3a })=-6a \neq 0 \forall  a∈ℝ\{0}

Damit können wir uns nun anschauen, wie die Ordinate der Wendepunkte aussieht, indem wir die obige Wendestelle in die "Ursprungsfunktion" fa einsetzen:
fa(\frac { 1 }{ 3a })= { \left( \frac { 1 }{ 3a }  \right)  }^{ 2 }-a{ \left( \frac { 1 }{ 3a }  \right)  }^{ 3 }+1

...mit ein wenig Umformung sieht das dann so aus...  = \frac { { 27a }^{ 2 }+2 }{ { 27a }^{ 2 } }

Somit haben wir nun:

Abszissengleichung:  x  = \frac { 1 }{ 3a }

Ordinatengleichung y=  \frac { { 27a }^{ 2 }+2 }{ { 27a }^{ 2 } }

Die Abszissengleichung formen wir nach a um und erhalten a=\frac { 1 }{ 3x } 
dies setzen wir in die Ordinatengleicung ein und... voilà... erhalten wir die Parabelgleichung die, die Ortskurve durch die Wendepunkte beschreibt:

\Rightarrow \quad y=\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 2 }+1

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Kann jemand das mal bitte richtig aufschreiben, brauche es um meine Lösung zu vergleichen, kann aber nichts lesen, da zwischendurch Frac und komische zeichen auftauchen :)