Bestimmen Sie für a > 0 die Ortskurve der Tiefpunkte und Wendepunkte der Schar fa(x)=x^4-ax^2

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktionsschar fa(x)=x^4-ax^2

a)Zeigen sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktionsschar für a<=0 keinen Hochpunkt haben.

b) bestimmen sie für a>0 die Ortskurve der Tiefpunkte und Wendepunkte der Schar.

C) bestimmen sie die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P(1/f(1)). Für welchen Wert von a beträgt die Steigung -0,5?

Problem/Ansatz:

Leider kann ich keiner der Aufgaben lösen, wäre daher nett wenn es mit etwas ausführlicher Erklärung erklärt werden würde.

Answer 1

Gegeben ist eine Funktionsschar fa(x) = x^4-ax^2

a)Zeigen sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktionsschar für a<=0 keinen Hochpunkt haben.

f'(x) = 4·x^3 - 2·a·x = 2·x·(2·x^2 - a) = 0

für a = 0 gibt es nur einen Tiefpunkt an der Stelle 0. Für a < 0 hat die klammer eine doppelte Nullstelle und damit keinen Einfluss. Für a < 0 hat die Klammer keine Nullstelle.

b) bestimmen sie für a>0 die Ortskurve der Tiefpunkte und Wendepunkte der Schar.

2·x^2 - a = 0 → a = 2·x^2

y = x^4 - 2·x^2·x^2 = - x^4

C) bestimmen sie die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P(1/f(1)). Für welchen Wert von a beträgt die Steigung -0,5?

t(x) = f'(1)·(x - 1) + f(1) = (4 - 2·a)·x + (a - 3)

4 - 2·a = -0.5 --> a = 2.25

Comments

Könnten sie mir b) nochmal genauer erklären ?

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Ich nehme gerne die allgemeine Tangentengleichung für die Tangente an einer Stelle x = a einer Funktion

t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a)

Das solltest du oben mal nachvollziehen indem du den Wert 1 einsetzt und soweit wie möglichst vereinfachst.