Ortskurve der Tiefpunkte: ft(x) = 4·x^2 + 4·t·x - 15·t^2

Question

Lösung:

ft(x) = 4·x^2 + 4·t·x - 15·t^2

Gesucht ist die Ortskurve der Tiefpunkte.

Für welches t liegt der Tiefpunkt auf der ersten Winkelhalbierenden?

ft'(x) = 8·x + 4·t = 0 --> t = - 2·x

Ortskurve der Tiefpunkte

y = 4·x^2 + 4·(- 2·x)·x - 15·(- 2·x)^2 = - 64·x^2

Für welches t liegt der Tiefpunkt auf der ersten Winkelhalbierenden?

y = - 64·x^2 = x --> x = - 1/64 ∨ x = 0

t = - 2·(- 1/64) = 1/32

t = - 2·0 = 0

Answer 1

Das scheint hinzukommen. Ich hab's mal noch mit dem Plotter geprüft und musste etwas unglücklich zoomen.

~plot~ 4x^2; 4*x^2 + 4*(1/32)*x - 15*(1/32)^2; x; [[0.1]]~plot~

~plot~ 4x^2; 4*x^2 + 4*(1/32)*x - 15*(1/32)^2; x; [[-0.06|0.06|-0.04|0.04]]~plot~

Answer 2

\(f_t(x) = 4·x^2 + 4·t·x - 15·t^2\)
Gesucht ist die Ortskurve der Tiefpunkte.

\(f_t'(x) = 8x + 4·t\)

\( 8x + 4·t=0\)

\( x=-\frac{1}{2}t\)    \(f_t(-\frac{1}{2}t) = 4·(-\frac{1}{2}t) ^2 + 4·t·(-\frac{1}{2}t) - 15·t^2=-16t^2\)

Auflösung von \( x=-\frac{1}{2}t\) nach \(t)\):  \(t=-2x \) Einsetzen in

\(f_t(-\frac{1}{2}t) =-16t^2\): \( o(x)=-64x^2\)