Funktionenschar ft(x)= x^2-t*x+t. Ortskurve der Scheitelpunkte

Question

Gegeben ist die Funktionenschar ft(x)= x^2-t*x+t
a) Wie müss t gewählt werden, damit die Funktion in x=5 eine Nullstelle hat ?
b) Bestimmen Sie die Scheitelpunkte der Schar in Abhängigkeit vom Parameter t. Auf welcher Ortskurve liegen die Scheitelpunkte ?

c) Welche der Scharparabeln hat den höchsten Scheitelpunkt ?

Answer 1

Gegeben ist die Funktionenschar ft(x) = x^2 - t·x + t

a) Wie müss t gewählt werden, damit die Funktion in x = 5 eine Nullstelle hat ?

ft(5) = 5^2 - t·5 + t = 0
t = 6.25

 

b) Bestimmen Sie die Scheitelpunkte der Schar in Abhängigkeit vom Parameter t. Auf welcher Ortskurve liegen die Scheitelpunkte ?

Sx = -b/(2a) = t/2

Sy = ft(t/2) = (t/2)^2 - t·(t/2) + t = t - t^2/4

Scheitelpunkt(t/2 | t - t^2/4)

 

Bedingung damit bei x der Scheitelpunkt ist: t = 2·x

f(x) = x^2 - (2·x)·x + (2·x) = 2·x - x^2

 

c) Welche der Scharparabeln hat den höchsten Scheitelpunkt ?

Sy = t - t^2/4 maximal
Sy' = 1 - t/2 = 0
t = 2