\(f_a(x)=\frac{1}{2}x^4-ax^2\) mit \(a>0\)
Tiefpunkte:
\(f_a'(x)=2x^3-2ax\)
\(2x^3-2ax=0\)
\(x(2x^2-2a)=0\) Satz vom Nullprodukt:
\(x_1=0\) \(f_a(0)=0\)
Art des Extremwertes:
\(f_a''(x)=6x^2-2a\)
\(f_a''(0)=-2a\) Da \(a>0\) ist \(f_a''(0)<0\) Maximum
\(2x^2-2a=0\)
\( x_2=\sqrt{a} \) \(f_a(\sqrt{a} )=\frac{1}{2}a^2-a^2=-\frac{1}{2}a^2\)
Art des Extremwertes:
\(f_a''(\sqrt{a} )=6a-2a=4a\) Da \(a>0\) ist \(f_a''(\sqrt{a})>0\) Minimum
\( x_3=-\sqrt{a} \) \(f_a(-\sqrt{a} )=\frac{1}{2}a^2-a^2=-\frac{1}{2}a^2\)
Art des Extremwertes:
\(f_a''(-\sqrt{a})=6a-2a=4a\) Da \(a>0\) ist \(f_a''(-\sqrt{a})>0\) Minimum
Wendepunkte:
\(f_a''(x)=6x^2-2a=0\)
\(x^2=\frac{a}{3}\)
\(x_1=\frac{1}{3}\sqrt{3a}\) \(f_a(\frac{1}{3}\sqrt{3a})=\frac{a^2}{18}-\frac{a^2}{3}=- \frac{5a^2}{18} \)
\(x_2=-\frac{1}{3}\sqrt{3a}\) \(f_a(-\frac{1}{3}\sqrt{3a})=- \frac{5a^2}{18}\)
Ortskurve der Tiefpunkte:
\(x= \sqrt{a} \) \( y=-\frac{1}{2}a^2\)
Nun \(x= \sqrt{a} \) nach a auflösen: \(a= x^2 \) und in \( y=-\frac{1}{2}a^2\) einsetzen:
\( y=-\frac{1}{2}x^4\)
Die 2.Ortskurve ist auch \( y=-\frac{1}{2}x^4\), weil \(f_a(x)=\frac{1}{2}x^4-ax^2\) zur y-Achse symmetrisch ist.
Ortskurve der Wendepunkte:
\(x=\frac{1}{3}\sqrt{3a}\) \(y=- \frac{5a^2}{18}\)
\(x^2=\frac{a}{3}\)
\(a=3x^2\)
Ortskurve: \(y=- \frac{5}{2}x^4\)
