Ortskurve der Extrempunkte der Funktionenschar fa(x)=-x^3+ax?

Question

Aufgabe:

Ortskurve der Extrempunkte der Funktionenschar  fa(x)=-x^3+ax ?

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe, ich habe massive Probleme mit der Berechnung der Ortskurven und es wäre nett wenn mir jemand ein rechenbeRechen zu dieser Aufgabe schicken kann :)

Comments

Ich nehme an, es soll die Ortskurve durch die Extremstellen ermittelt werden?

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Ortskurve einer Funktionsschar.      f_a(x)=-x³+ax

"Als Ortskurve bezeichnet man eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen." (direkt von Wikpedia geklaut)

Du müsstest uns also noch verraten, welche Eigenschaft die Punkte haben sollen. Extrempunkt zu sein, ist (wie schon von Silvia angesprochen) eine solche Eigenschaft. Wendepunkt zu sein ist eine andere. Der erste Schritt ist auf jeden Fall, herauszufinden, um welche Punkte es geht.

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Ja genau vom Extrempunkt  kannst du mir dabei helfen verstehe das nämlich echt nicht

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1. Schritt: die Extrempunkte der Funktion in Abhängigkeit von a ermitteln.

Kannst du das?

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Nein. Es wäre halt gut wenn ich ein Beispiel habe wie man die ortskurve aus dem extrempunkt berachnet dann würde ich versuchen selbstständig Aufgaben zu lösen und wenn ich Hilfe nötig habe nochmals nachzuschauen :)

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Bevor die Ortskurve berechnet wird, braucht man erst einmal die charakteristischen Punkte der Funktionenschar, hier die Extremstellen.

Du gehst nach dem gleichen Schema wie bei "normalen" Funktionen vor. Die 1. Ableitung = 0 setzen und nach x auflösen.

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Hast du dir schon die Beispiele im Buch angeschaut?

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OK danke Silvia :))

Und die Beispiele im buch sind viel einfach als die Aufgaben die danach kommen

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Du weißt also, was du zu tun hast, nachdem du einen Extrempunkt berechnet hast?

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Gestern habe ich eine ähnliche Funktionenschar wie deine als Beispiel in einem Buch gesehen.

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Naja halbwegs am besten wäre einfach wenn jemand diese Aufgabe für mich lösen kann dann hätte ich einmal ein richtiges Beispiel weil die aus dem Buch sind ganz anders

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Ich muss mich korrigieren, es war vorgestern, nicht gestern.

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Kannst du die denn lösen weil in meinem Buch waren nur viel einfachere angegeben

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Noch einfachere Beispiele zu Ortskurven können ja nur quadratische Funktionen sein...

Welche Werte darf denn der Scharparameter a annehmen und welche Extrempunkte (Hochpunkte, tiefpunkte oder beides) soll die Ortskurve denn enthalten?

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Hallo matheguru,
ist dir die Ortskurve klarer geworden ?
Falls du Fragen hast stell eine neue
Aufgabe ein.

Answer 1

$$f_a(x)=-x^3+ax\\ f_a'(x)=-3x^2+a\\ -3x^2+a=0\\ -3x^2=-a\\ x^2=\frac{a}{3}\\ x_1=\sqrt{\frac{a}{3}}\\ x_2=-\sqrt{\frac{a}{3}}\\$$

Um zu bestimmen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, müsste man die Ergebnisse in die 2. Ableitung setzen, aber das ist hier nicht nötig.

Nehmen wir den Punkt
$$x_1=\sqrt{\frac{a}{3}}$$

Du musst jetzt die y-Koordinate berechnen, indem du dieses Ergebnis für x in die Ausgangsgleichung einsetzt.
Nach diversen Umformungen (die ich mir an dieser Stelle sparen möchte, aber wenn du sie unbedingt brauchst, sag Bescheid) erhältst du

$$f(\sqrt{\frac{a}{3}})=\frac{2}{3}a\cdot\sqrt{\frac{a}{3}}$$

nächster Schritt: die x-Koordinate des Extrempunkte nach a umformen:
$$x=\sqrt{\frac{a}{3}}\\ x^2=\frac{a}{3}\\ a=3x^2$$

Dieses Ergebnis setzt du jetzt in die y-Koordinate des Punktes für x ein:
$$y=\frac{2}{3}a\cdot\sqrt{\frac{a}{3}}\\ y=\frac{2}{3}\cdot 3x^2\cdot\sqrt{\frac{3x^2}{3}}\\ y=2x^2\cdot \sqrt{x^2}\\ y=2x^3$$
Das ist die Ortskurve.
Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank :))))

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Hallo Silvia,
ein kleiner Fehler
( vorletzte Zeile )
nicht
y = 2x^2 + √ x^2
sondern
y = 2x^2 mal √ x^2

mfg Georg

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Oha, stimmt, ich werde das korrigieren. Danke.

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Zur Erheiterung noch eine Anekdote zur Überlegenheit
des weiblichen Geschlechts

  Ungarn Anfang des letzten Jahrhunderts. Ein älteres Unternehmer-Ehepaar liegt abends im Bett. Der Mann dreht sich von einer Seite auf die andere und kann nicht schlafen.

  Die Frau richtet sich auf, knipst das Licht an und fragt " Mann, was hast du ? ".

  " Ich muß morgen zum Bankdirektor gehen und ihm sagen das ich den großen Kredit, der morgen fällig wird, nicht zurückzahlen kann. " Die Frau überlegt etwas und zeigt dann auf das Telefon und sagt

  " Dort steht das Telefon. Du rufst den Bankdirektor jetzt an und sagst ihm das du den Kredit nicht zurückzahlen kannst. Dann kann er nicht schlafen und wir haben unsere Ruhe. "

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Nach diversen Umformungen (die ich mir an dieser Stelle sparen möchte, aber wenn du sie unbedingt brauchst, sag Bescheid) erhältst du (...)

Mit etwas Umsicht erhalten wir allerdings $$f\left(\sqrt{\dfrac{a}{3}}\right)=2\cdot\left(\sqrt{\dfrac{a}{3}}\right)^3$$ was zusammen mit $$x=\sqrt{\dfrac{a}{3}}$$ ein sofortiges Einsetzen ohne jede Vor- oder Nachberechnung ermöglicht.

Außerdem sollte nicht unerwähnt bleiben, dass die Funktionen der vorgelegten Schar nur für a>0 Extremstellen besitzen. Weiter beschreibt die bisher ermittelte Funktion \(y=2\cdot x^3\) nur eine Ortskurve für die Hochstellen.

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Nach diversen Umformungen ...

\(f_a(x)=−x^3+ax=(-x^2+a)x\)

Mit \(x=\sqrt{\frac{a}{3}}\quad;\quad x^2=\frac{a}{3}\)

erhältst du \(f_a\left(\sqrt{\dfrac{a}{3}}\right)=\left(-\dfrac{a}{3}+a\right)\sqrt{\dfrac{a}{3}}=\dfrac{2}{3}a\sqrt{\dfrac{a}{3}}\)

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@Gast az0815: Es gibt auch nur eine Ortskurve. Die Hoch- und Tiefpunkte liegen auf derselben Kurve. Da a=3x² ist, fällt das Vorzeichen von x weg.