Funktionsscharen: Extrempunkte der Schar: fa(x)=x^3 -ax^2 +a in Abhängigkeit von a?

Question

Berechnen Sie die Extrempunkte der Schar: f_a(x)=x³ -ax² +a in Abhängigkeit von a

1. und 2. Ableitung

f_a'(x)=3x² -2ax

f_a''(x)=6x-2a

1. Ableitung 0 setzen:

3x² -2ax=0

x(3x-2a)=0

x=0

3x-2a=0       /+2a

3x=2a           /÷2

a=1,5x

in 2. Ableitung eingesetzt ergibt 3x, d.h. es ist ein Tiefpunkt

in f(x) eingesetzt:

f_a(1,5x)=x³ -(1,5x)•x² +1,5x

=-0,5x³ +1,5x

Also TP(1,5x/-0,5x³+1,5)

dann noch 0 in f(x) einsetzen:

f_a(0)=x³ -0•x² +0

Also HP(0/x³)

Ist das alles richtig?

Answer 1

Berechnen Sie die Extrempunkte der Schar:
f_a(x)=x³ -ax² +a in Abhängigkeit von a

Bis hierhin stimmt es noch

3x=2a
dann
x = 2/3 * a

f_a''(x)=6x-2a

f ´´ ( 2/3a ) = 6 * (2/3*a ) - 2a = 2a

Falls die Voraussetzung der ersten Aufgabe noch
gilt : a < 0  ist 2a negativ ; also ein Hochpunkt.

für a = -2  ist x = 2/3*a = - 4/3
der andere Extrempunkt x = 0 ist
f ´´ ( 0 ) = 6 * 0 - 2a = -2a = -2*-2 = 4 : positiv = Tiefpunkt