fa(x) = 1/a^2·x^3 - 6/a·x^2 + 9·x
fa'(x) = 3/a^2·x^2 - 12/a·x + 9
fa''(x) = 6/a^2·x - 12/a
Ich untersuche die Funktion für a > 0. Für a < 0 vertauschen sich z. Hoch- und Tiefpunkte
a) Ermitteln Sie Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte von fa.
Nullstellen fa(x) = 0
1/a^2·x^3 - 6/a·x^2 + 9·x = 1/a^2·x·(x - 3·a)^2 → x = 0 ∨ x = 3·a (2-fach)
Extrempunkte fa'(x) = 0
3/a^2·x^2 - 12/a·x + 9 = 3/a^2·(x^2 - 4·a·x + 3·a^2) = 3/a^2·(x - a)·(x - 3·a) = 0 --> x = a ∨ x = 3·a
fa(a) = 4·a → Ha(a | 4·a)
fa(3·a) = 0 → Ta(3·a | 0)
Wendepunkte fa''(x) = 0
6/a^2·x - 12/a = 6/a^2·(x - 2·a) = 0 → x = 2·a
fa(2·a) = 2·a → Wa(2·a | 2·a)
b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa im Wendepunkt Wa die gleiche Steigung haben.
fa'(2·a) = -3
c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normalen na an den Graphen von fa im Punkt Wa.
na(x) = fa'(2·a)·(x - 2·a) + fa(2·a) = -3·(x - 2·a) + 2·a = 8·a - 3·x