Aufgabe zu Untersuchung von Funktionsscharen

Question

Aufgabe:

Untersuchung einer Funktionsschar. Gegeben ist die Funktionenschar f_a mit f_a (x) = 1/a²•x³-6/a•x²+9x

a) Ermitteln Sie Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte von f_a.

b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von f_a im Wendepunkt W_a die gleiche Steigung haben.
c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normalen n_a an den Graphen von f_a im Punkt W_a.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe?

Comments

Wo ist dein Problem?

Behandle die Terme mit a wie Zahlen.

Answer 1

fa(x) = 1/a^2·x^3 - 6/a·x^2 + 9·x
fa'(x) = 3/a^2·x^2 - 12/a·x + 9
fa''(x) = 6/a^2·x - 12/a

Ich untersuche die Funktion für a > 0. Für a < 0 vertauschen sich z. Hoch- und Tiefpunkte

a) Ermitteln Sie Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte von fa.

Nullstellen fa(x) = 0

1/a^2·x^3 - 6/a·x^2 + 9·x = 1/a^2·x·(x - 3·a)^2 → x = 0 ∨ x = 3·a (2-fach)

Extrempunkte fa'(x) = 0

3/a^2·x^2 - 12/a·x + 9 = 3/a^2·(x^2 - 4·a·x + 3·a^2) = 3/a^2·(x - a)·(x - 3·a) = 0 --> x = a ∨ x = 3·a

fa(a) = 4·a → Ha(a | 4·a)

fa(3·a) = 0 → Ta(3·a | 0)

Wendepunkte fa''(x) = 0

6/a^2·x - 12/a = 6/a^2·(x - 2·a) = 0 → x = 2·a

fa(2·a) = 2·a → Wa(2·a | 2·a)

b) Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa im Wendepunkt Wa die gleiche Steigung haben.

fa'(2·a) = -3

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normalen na an den Graphen von fa im Punkt Wa.

na(x) = fa'(2·a)·(x - 2·a) + fa(2·a) = -3·(x - 2·a) + 2·a = 8·a - 3·x

Comments

Vielen Dank für Ihre Hilfe! Leider verstehe ich bei Aufgabe b) nicht ganz die Zwischenschritte, die dort gemacht werden, ich komme da einfach nicht weiter und auch überhaupt nicht auf diese Lösung. Fällt das a dann einfach weg oder wie ist das?

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Richtig. Das a kürzt sich in den Brüchen raus. Kannst du mal 2a in die Ableitung einsetzen und vereinfachen? Sag auch genau wo du dann Schwierigkeiten hast.

Answer 2

a) Nullstellen: Funktionsterm gleich 0 setzen und Gleichung lösen

Extrempunkte: Ableitung gleich 0 setzen und Gleichung lösen. Lösung in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen ob das Ergebnis ungleich 0 ist. In Funktion einsetzen um y-Koordinaten zu berechnen

Wendepunkte: Extremstellen der Ableitung bestimmen. In Funktion einsetzen um y-Koordinaten zu berechnen.

b) Wendestelle in Ableitung einsetzen.

c) Steigung der Normalen ist \(-\frac{1}{f_a'(x_W)}\) wobei \(x_W\) die Wendestelle ist. Die Normale hat also die Gleichung

        \(n(x) = -\frac{1}{f_a'(x_W)}x + b\).

Setze den Wendepunkt ein um \(b\) zu bestimmen.