Aloha :)
Nur 2 Tiefpunkte ist schlecht, denn dazwischen müsste ja dann ein Hochpunkt liegen. Vermutlich ist einer der Tiefpunkte ein Hochpunkt. Wir rechnen mal zusammen nach:
$$f'_k(x)=\frac{1}{6}\left(3x^2-4kx+k^2\right)=\frac{1}{2}\left(x^2-\frac{4}{3}k\,x+\frac{k^2}{3}\right)$$Mit der pq-Formel finden wir als Nullstellen:
$$x_{1;2}=\frac{2}{3}k\pm\sqrt{\frac{4}{9}k^2-\frac{k^2}{3}}=\frac{2}{3}k\pm\sqrt{\frac{4}{9}k^2-\frac{3}{9}k^2}=\frac{2}{3}k\pm\sqrt{\frac{1}{9}k^2}=\frac{2}{3}k\pm\frac{k}{3}$$$$\Rightarrow\quad x_1=\frac{k}{3}\quad;\quad x_2=k$$Um zu bestimmen, ob dort ein Exremum vorliegt und von welcher Art dieses ist, benötigen wir die 2-te Ableitung und beachten, dass \(k>0\) sein soll:$$f''_k(x)=\frac{1}{6}\left(6x-4k\right)$$$$f''_k(x_1)=\frac{1}{6}\left(6\cdot\frac{k}{3}-4k\right)=\frac{1}{6}\cdot(-2k)=-\frac{1}{3}k<0\quad\Rightarrow\quad\text{Maximum}$$$$f''_k(x_2)=\frac{1}{6}\left(6\cdot k-4k\right)=\frac{1}{6}\cdot(2k)=\frac{1}{3}k>0\quad\Rightarrow\quad\text{Minimum}$$
