Ortskurve der Extrempunkte von Funktionsschar mit e

Question

Aufgabe ist es die Ortskurve zu bestimmen, auf der die Extrempunkte der Kurvenschar liegen.

Die Funktion lautet:

$$f_{k}(x)=(1-kx^{2})*e^{x}$$

Erste Ableitung

$$f'(x)=0$$

$$x_{1/2}=-1 + \sqrt{1+(\frac {1} {k})}$$

Das in die Ausgangsfunktion eingesetzt, um die Y-Werte heraus zu bekommen.

$$f_{k}(x)= (1-k(-1 + \sqrt{1+(\frac {1} {k})})^{2})*e^{-1 + \sqrt{1+(\frac {1} {k})}} $$

Jetzt komme ich nicht mehr weiter.

Answer 1

fk(x) = e^x·(1 - k·x^2)

fk'(x) = - e^x·(k·x^2 + 2·k·x - 1) = 0

Lös die Bedingung einfach nach k und nicht nach x auf

k·x^2 + 2·k·x - 1 = 0 --> k = 1/(x^2 + 2·x)

Ortskurve der Extrempunkte erhältst du durch ersetzen des k's in der ursprünglichen Funktion.

y = e^x·(1 - 1/(x^2 + 2·x)·x^2) = e^x·2/(x + 2)

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