Ortskurve und die Funktionsgleichung

Question

Hallo meine Aufgabe lautet: Begründen sie, dass die extrempunkte alle auf einer Kurve (=Ortskurve) liegen und leiten sie die passende Funktionsgleichung her!

Ich habe wirklich keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll.

Ich habe schon die Extrempunkte berechnet

Tiefpunkt (0/0)

Hochpunkt (-2/k | 4/k*e^-2)

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!

Comments

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ortskurve-extrempunke-wendepunkt.html

Answer 1

(-2/k | 4/k*e^(-2)) ==>   x=-2/k und y=4/k *e^(-2)

                          ==>   k = -2/x und y = \(   \frac{4}{\frac{-2}{x}} \cdot e^{-2}   \)

                         ==>   y = \(  \frac{x}{-2} \cdot e^{-2}  \)

Diese Gleichung erfüllen sowohl alle Hochpunkte als auch der Tiefpunkt.

Das ist die Gleichung der Ortskurve.

Answer 2

Die Funktion hast Du uns nicht verraten.

Aber gehen wir mal davon aus, dass Deine Extrempunkte stimmen. Unklar ist auch, was \(k\) ist.

Wenn \(k\in\R\) beliebig ist, dann enthält die Kurve

\(K=\{(-\frac2k, \frac4k e^{-2})\; |\; k\in\R\}\)

schonmal alle Hochpunkte, wie von Dir berechnet.

Wir können die Kurve etwas erweitern zu

\(K_1=\{(x, -2x e^{-2})\; |\; x\in\R\}\).

Offensichtlich ist \(K\subset K_1\) und nun enthält \(K_1\) auch den Tiefpunkt.

Wenn \(k\) eingeschränkt ist, melde Dich nochmal.

Answer 3

Schau mal das Video

Du gibst den Punkt mit dem Parameter an,
stellst die x-Koordinate nach dem Parameter um und dann
setzt du das in die y-Koordinate ein
und, was da raus kommt, wird deine Ortskurve sein.

x = - 2/k --> k = - 2/x

y = 4/(e^2·k) = 4/(e^2·(- 2/x)) = - 2/e^2·x

Die Ortskurve ist also

y = - 2/e^2·x