Ortskurve und die Funktionsgleichung

Question

Hallo meine Aufgabe lautet: Begründen sie, dass die extrempunkte alle auf einer Kurve (=Ortskurve) liegen und leiten sie die passende Funktionsgleichung her!

Ich habe wirklich keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll.

Ich habe schon die Extrempunkte berechnet

Tiefpunkt (0/0)

Hochpunkt (-2/k | 4/k*e^-2)

Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!

Comments

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/ortskurve-extrempunke-wen…

Answer 1

(-2/k | 4/k*e^(-2)) ==>   x=-2/k und y=4/k *e^(-2)

                          ==>   k = -2/x und y = $\frac{4}{\frac{-2}{x}} \cdot e^{-2}$

                         ==>   y = $\frac{x}{-2} \cdot e^{-2}$

Diese Gleichung erfüllen sowohl alle Hochpunkte als auch der Tiefpunkt.

Das ist die Gleichung der Ortskurve.

Answer 2

Die Funktion hast Du uns nicht verraten.

Aber gehen wir mal davon aus, dass Deine Extrempunkte stimmen. Unklar ist auch, was $k$ ist.

Wenn $k\in\R$ beliebig ist, dann enthält die Kurve

$K=\{(-\frac2k, \frac4k e^{-2})\; |\; k\in\R\}$

schonmal alle Hochpunkte, wie von Dir berechnet.

Wir können die Kurve etwas erweitern zu

$K_1=\{(x, -2x e^{-2})\; |\; x\in\R\}$.

Offensichtlich ist $K\subset K_1$ und nun enthält $K_1$ auch den Tiefpunkt.

Wenn $k$ eingeschränkt ist, melde Dich nochmal.

Answer 3

Schau mal das Video

Du gibst den Punkt mit dem Parameter an,
stellst die x-Koordinate nach dem Parameter um und dann
setzt du das in die y-Koordinate ein
und, was da raus kommt, wird deine Ortskurve sein.

x = - 2/k --> k = - 2/x

y = 4/(e²·k) = 4/(e²·(- 2/x)) = - 2/e²·x

Die Ortskurve ist also

y = - 2/e²·x