Wurzelgesetze, Integralrechnung, Potenzen

Question

Aufgabe:

Ich versteh das rot martkierte nicht.

Mir ist klar das der Faktor vor das Integral gezogen wird.

Muss allerdings nicht die wurzel unter dem bruch, wenn man sie hochzieht als negativ dargestellt werden.

Sprich ich verstehe nicht wieso die Wurzel aus u als u^0,5 dargestellt werden kann obwohl sie ja unter einem Bruch steht. Müsste da nicht dann u^-0,5 stehen?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1+2 \cos (x)}} d x=\left|\begin{array}{c}\text { Substitution: } \\ 3|u=1+2 \cos (x)|_{0}^{\frac{\pi}{3}} \\ d u=-2 \sin (x) d x \Leftrightarrow \sin (x) d x=-\frac{1}{2} d u\end{array}\right|=\int \limits_{3}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}}\left(-\frac{1}{2} d u\right)= \\ =-\frac{1}{2} \int \limits_{3}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u=\frac{1}{2} \int \limits_{2}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u=\frac{1}{2}\left[\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\right]_{2}^{3}=\frac{1}{2}\left[\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right]_{2}^{3}= \\ =\frac{1}{2}\left[2 u^{\frac{1}{2}}\right]_{2}^{3}=\frac{1}{2} \cdot 2[\sqrt{u}]_{2}^{3}=[\sqrt{u}]_{2}^{3}=\underline{\underline{\sqrt{3}-\sqrt{2}}} \\\end{array} \)

Comments

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Ja klar hast du recht, es gilt \(\frac{1}{\sqrt u}=u^{\pink-\frac12}\). Beim eigentlichen Integrieren weiter hinten in der Rechnung taucht das Minuszeichen dann aber wieder auf. Daher stimmt das Ergebnis:$$\small\int\limits_0^{\pi/3}\frac{\sin(x)}{\sqrt{1+2\cos(x)}}\,dx=\pink-\int\limits_0^{\pi/3}\frac{\overbrace{\pink{-2}\sin(x)}^{=(\,2\cos(x)\,)'}}{\pink2\sqrt{1+2\cos(x)}}\,dx=\left[-\sqrt{1+2\cos(x)}\right]_0^{\pi/3}=\sqrt3-\sqrt2$$

Comments

Text erkannt:

\( \begin{array}{lll}\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1+2 \cos (x)}} d x & u=1+2 \cos (x) & d x=\frac{1}{v^{\prime}} d u \\ u^{\prime}=-2 \sin (x) & d x=\frac{1}{-2 \sin (x)} d v \\ \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{v}} \frac{1}{-2 \sin (x)} d u & \text { veve Grenzen: } \\ \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sqrt{v}}-\frac{1}{2} d u=-\frac{1}{2} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sqrt{v}} d v=-\frac{1}{2} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} u^{-0,5} d v & v\left(\frac{\pi}{3}\right)=2 \\ -\frac{1}{2}[(-2) \cdot \sqrt{x}]_{3}^{2} & =\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot(-2)[\sqrt{x}]_{3}^{2} & v(0)=3 \\ & =[\sqrt{x}]_{3}^{2} & \\ & --0,318 & \end{array} \)

Was ist bei mir der Fehler? ich kriege zwar die selbe Zahl raus aber mit dem falschen Vorzeichen. Ich meine die Grenzen muss ich ja doch eigentlich nicht unbedingt umdrehen wenn ich mit dem negativen Vorzeichen bei der 1/2 weiterrechne oder ?

---

Bei dir geht eingies durcheinander. Du hast z.B. die Integrationsvariable \(x\) durch \(u\) ersetzt, aber die Integrationsgrenzen beziehen sich noch auf \(x\).

Deine Substitution ist korrekt:$$u(x)\coloneqq1+2\cos(x)\implies \frac{du}{dx}=-2\sin(x)\implies dx=\frac{du}{-2\sin(x)}$$$$u(0)=1+2\cos(0)=3\quad;\quad u(\pi/3)=1+2\cdot\frac12=2$$

Die Substitution ist nun ein einzelner Schritt:$$I=\int\limits_0^{\pi/3}\frac{\sin(x)}{\sqrt{1+2\cos(x))}}\,dx=\int\limits_3^2\frac{\sin(x)}{\sqrt{u}}\,\frac{du}{-2\sin(x)}=-\frac12\int\limits_3^2\frac{du}{\sqrt u}$$

Das hast du bis auf die falschen Integrationsgrenzen richtig gemacht. Dein Fehler passiert beim Integrieren. Dabei wird durch den inkrementierten Exponenten dividiert:$$I=-\frac12\int\limits_3^2 u^{-\frac12}\,du=-\frac12\left[\frac{u^{\pink{\frac12}}}{\pink{\frac12}}\right]_3^2=\left[-\sqrt u\right]_3^2=\sqrt3-\sqrt2$$

Du hast dich beim einfachsten Schritt in der Rechnung vertan.

---

Okay vielen Dank. Habe es nun verstanden