Wurzelgesetze und Umformung

Question

Wie löse ich diese Funktion nach x auf?  

Answer 1

f ( x ) = √ x * ( x - 2 )
f ´( x ) = 1/ (2 *√ x ) * ( x - 2 ) + √ x * 1

f ´( x ) = √ x /2  - 1 / √ x + √ x
f ´( x ) = 1.5 * √ x  - 1 / √ x

1.5 * √ x  - 1 / √ x = 0

1.5 * √ x  = 1 / √ x
1.5 * x = 1
x = 2 / 3
f ( 2/3 ) = -1.089
( 2/3  | -1.089 )

Berührpunkt
f ( x ) = t ( x )
f ´( x ) = t ´( x )
f ( 1 ) = -1
f ´( 1 ) = 0.5 = m

y = m * x + b
-1 = 0.5 * 1 + b
b = -1.5

t ( x ) = 0.5 * x - 1.5

Die Lösung wurde graphisch überprüft
und dürfte stimmen.

Comments

Danke für die Antwort. Mir ist der Übergang von der 4. Zeile zur 5. nicht klar. Wie kommt man darauf? 

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Die erste Ableitung wurde Null gesetzt.

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f ´( x ) = 1.5 * √ x  - 1 / √ x
ist die Ableitungsfunktion / Funktion der Steigung

Stelle mit waagerechter Tangente /
Steigung = 0
1.5 * √ x  - 1 / √ x = 0

Answer 2

Hi,

schreibe statt f'(x) einfach y zunächst mal. Dann multipliziere auf beiden Seiten mit √x. Anschließend quadrtierst du beide Seiten und formst die Gleichung so um, dass auf der einen Seite eine 0 steht. Am Ende läuft es auf die p-q-Formel (oder welche du auch benutzen magst) raus, d.h. du bestimmt dort die Nullstellen eines Polynoms vom Grad 2. Achte aber darauf welcher der beiden Lösungen die du am Ende erhältst auch tatsächlich eine Lösung deiner Gleichung ist bevor du quadriert hast.

Comments

Mit dem Ansatz \(f'(x)=0\) als notwendiger und hinreichender Bedingung für die Existenz waagerechter Tangenten in differenzierbaren Bereichen einer Funktion hat das aber nichts mehr zu tun oder? Desweiteren führt eine anschließende Multiplikation mit \(\sqrt{x}\) auf eine lineare Gleichung...

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Die Bedingung, dass die erste Ableitung 0 ist, ist notwendig. Hinreichend ist, dass die zweite ungleich 0 ist. Eine Multiplikation mit Wurzel X führt nicht zu einer linearen Gleichung. Links steht ja dann y mal Wurzel x. Und diese Gleichung quadrierst du dann :) 

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Nein, für das Vorhandensein von waagerechten Tangenten an differenzierbaren Funktionen ist das Verschwinden der ersten Ableitung notwendig und hinreichend, es geht hier ja nicht um Extremstellen.

Es geht in der Aufgabe auch nicht darum, die Ableitung nach x aufzulösen. Dies steht irrtümlich so in der Frage, ist aber vermutlich nicht so gemeint gewesen und sicher auch gar nicht erforderlich. Daher genügt der Ansatz \(f'(x)=0\), der nach Multiplikation mit \(\sqrt{x}\) zu einer linearen Gleichung wird.

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Achso, korrekt, dachte an Extremstelle wie du sagtest :)

Ok, als ich die Aufgabe beantwortet habe, war da nur das handgeschriebene Bild. Das, was du sagst, stimmt natürlich.

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Hallo Bruce,
zwischen der handgeschriebenen Frage und
der nachträglich angegebenen tatsächlichen
Frage klaffen doch Welten.

Ich habe es mir angewöhnt, sobald mir eine
Frage komisch vorkommt, zunächst einmal
nachzufragen und vielleicht um ein Foto
der Aufgabe zu bitten.

Damit vermeide ich Fehler durch eigenwillige
Interpretationen durch den Fragesteller und
mir Irrwege.

mfg Georg

Answer 3

Zu Aufgabenteil a): Ausgehend von der Faktorisierung deiner Ableitung

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \sqrt{x} + \dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\cdot(x-2) \\\,\\      &= \dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\cdot\left(2x + (x-2)\right) \\\,\\      &=  \dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\cdot\left(3x - 2\right).\end{aligned} $$ergibt sich durch Ablesen \(x=2/3\) als einzige Stelle mit waagerechter Tangente an \(f\) und 

$$\left(\dfrac 23 \:\left|\: -\dfrac 23\cdot\sqrt{\dfrac 23 } \right. \right) = \left(\dfrac 23 \:\left|\: -\dfrac 29\cdot\sqrt{ 6 } \right. \right) $$als der dazu gehörige Berührpunkt.

Answer 4

f(x) = √x·(x - 2) = x^{3/2} - 2·x^{1/2}

f'(x) = 3/2·x^{1/2} - x^{- 1/2} = 0

3/2·x - 1 = 0 --> x = 2/3

f(2/3) = - 4/9·√6

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a = 1

f(a) = -1

f'(a) = 1/2

t(x) = 1/2·(x - 1) - 1 = 1/2·x - 3/2

Comments

Wie kommt man denn von der 2. zur 3.Zeile? 

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Die Gleichung wurde durch x^{-1/2} geteilt.

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Danke :) aber bei 3/2 x^1/2 ist die 1/2 ja positiv und bei der anderen negativ darf man dann trotzdem durch -1/2 teilen? 

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Ja. Das darf man. Es ist auch egal ob du durch x^{-1/2} teilst oder wie ich es gemacht habe mit x^{1/2} multiplizierst. Dadurch erhöhen sich alle Exponenten um 1/2.