Funktionenschar und Ortskurve: fa(x) = - x^3 + a·x^2 - x - a·x

Question

Ich sitze gerade seit geraumer zeit an einer matheaufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar f_a(x) = -x³ + ax² - x - ax (a ∈ ℝ)

a) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.

b) Zeigen Sie, dass die Graphen der Funktion für alle Werte von a einen Wendepunkt haben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes und die zugehörige Ortskurve.

für meine facharbeit und komme nicht damit klar! Hoffe jemand kann mir helfen? DANKE IM Voraus!

Answer 1

fa(x) = - x^3 + a·x^2 - x - a·x

a)

fa(x) = fb(x)

- x^3 + a·x^2 - x - a·x = - x^3 + b·x^2 - x - b·x

x = 1 ∨ x = 0

b)

fa''(x) = 2·a - 6·x = 0

x = a/3

fa(a/3) = - (a/3)^3 + a·(a/3)^2 - (a/3) - a·(a/3) = 2·a^3/27 - a^2/3 - a/3

Ortskurve

2·a - 6·x = 0

a = 3·x

f(x) = - x^3 + (3·x)·x^2 - x - (3·x)·x = 2·x^3 - 3·x^2 - x

Comments

Was bedeutet denn diese Schreibweise (a/3)?? Dnke für dieAntwort, gut nachvollziehbar!

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a/3 = a durch 3

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Aha! Also schreibe ich das im Heft als Bruch?

Answer 2

f ( x ) = -x^3 + ax^2 - x - ax

Gemeinsame Punkte
f ( x ) = x * ( -x^2 + ax - 1 - a )
Für x = 0 ist der Funktionswert für alle a stets 0.
Ansonsten
-x^3 + a1*x^2 - x - a1x = -x^3 + a2*x^2 - x - a2*x

a1*x^2 - a1*x = a2*x^2 - a2*x
a1 * ( x^2 - x ) = a2 * ( x^2 - x )
x^2 - x = 0
x * ( x - 1 ) = 0
x = 0
x -1 = 0
x = 1

Jetzt noch
f ( 1 ) = -1^3 + a*^2 - 1 - a*1
f ( 1 ) = -1 -1 - a^2 - a = -2 - a^2 - a
( 1  | -2 - a^2 - a )
( 0  | -1 )

Wendepunkte
f ´( x ) = -3*x^2 + 2ax - 1 - a
f ´( x ) = -6*x + 2a
-6*x + 2a = 0
6x = 2a
x = a / 3
f ( a / 3 )  = 2*a^3 27 - a^2 / 3 - a / 3

Ortskurve
x = a / 3  => a = 3 * x
y = 2*a^3 27 - a^2 / 3 - a / 3
ort ( x ) = 2*(3*x)^3 27 - (3*x)^2 / 3 - (3*x) / 3

Ein bißchen Zusammenfassen / Kürzen bleibt dir noch.

mfg Georg

Comments

Wie so schnell! Beeindruckend! Ich kann das grundsätzlich nachvollziehen, jedoch verstehe ich nicht so ganz was ich noch kürzen müsste oder zusammenfassen?:-) Tschuldigung für die Begriffsstutzigkeit!

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Und was bedeuten die Querstriche zwischen den Zahlen wie zB bei a/3? :-)

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a / 3 = ( a durch 3 ) oder ( a geteilt 3 )
Mit Hoch- Tiefgestellt ^a / ₃ .
Der Schrägstrich wird im allgemeinen so genutzt.

Ein kleiner Fehler war vorhanden
Anstelle
ort ( x ) = 2*(3*x)³ 27 - (3*x)² / 3 - (3*x) / 3
muß es heißen
ort ( x ) = 2*(3*x)³ / 27 - (3*x)² / 3 - (3*x) / 3 

Kürzen
ort ( x ) = 2* x³  - 3*x²  - x