Funktionenschar mit Ortskurve der Hochpunkte: f(x) = - a·x^3 + 3·x^2

Question

Hallo Mathegenies,

ich komme leider bei einer Aufgabe nicht mehr weiter jedoch muss ich sie bis morgen können da ich Abitur 13 meine Matheklausur schreiben werde. Ich habe die Aufgabe fotografiert und auch das Blatt soweit ich gekommen bin kann mir jemand helfen das auszurechnen und mir sagen was da falsch ist.

 

Ich hoffe sie können meinen Rechenweg lesen.

Comments

Öhm habe ein Denkfehler bei der Hinreichende muss das doch in die 2 Ableitung 2a xD

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f ( x ) = -a * x^3 + 3 * x^2
f ´( x ) = -3*a * x^2 + 6 * x
f ´´ ( x ) = -6 a * x + 6

Stellen mit waagerechter Tangente
f ´( x )  = 0
-3*a * x^2 + 6 * x = 0
x * ( -3*a * x + 6 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn einer der Faktoren 0 ist
x = 0
und
-3*a * x + 6 = 0
-3a*x = -6
ax = 2
x = 2 / a

f ´´( 0 ) = -6*a*0 + 6 = 6 => Tiefpunkt
f ´´( 2 / a  ) = -6*a*2/a + 6 = -6 => Hochpunkt

f ( 2 / a ) = 4 / a^2


H ( 2/a  | 4/a^2 )

Ortskurve
x = 2/a 
y = 4/a^2

x = 2/a  => a = 2/x
y = 4 / ( 2/x)^2
y = 4 / ( 4 / x^2 )
ort ( x )  = x^2

Alle Angaben ohne Gewähr.

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Ich kann eh nichts erkennen

Answer 1

f(x) = - a·x^3 + 3·x^2

f'(x) = 6·x - 3·a·x^2

f''(x) = 6 - 6·a·x

f'''(x) = - 6·a

Extrempunkte f'(x) = 0

6·x - 3·a·x^2 = 0 --> x = 2/a ∨ x = 0

f(0) = 0

f''(0) = 6 --> Tiefpunkt (0 | 0)

f(2/a) = 4/a^2

f''(2/a) = -6 --> Hochpunkt (2/a | 4/a^2) mit a <> 0

Wendepunkte f''(x) = 0

6 - 6·a·x = 0

x = 1/a

f(1/a) = 2/a^2 --> Wendepunkt (1/a | 2/a^2) für a <> 0

f'''(1/a) <> 0

Ortskurve der Extrempunkte

6·x - 3·a·x^2 = 0 --> a = 2/x

y = - (2/x)·x^3 + 3·x^2 = x^2

Skizze