Kurvendiskussion und Extrema/Wendepunkt für f(x) = x³ - 3t²x

Question

Hiho Leute,
ich komme hier mit einer Hausaufgabe nicht zurecht...

Ich habe die Aufgabe f(x)  x³ - 3t² x       t=1  ; t = 0,5

Ich habe die Aufgabe als erstes mit "1" sozusagen "ausgerechnet, damit ich eine richitge brauchbare Funktion habe

f(x) =   x³  - 3x

So, dann habe ich die 3 Ableitungen gemacht etc. Aber jetzt soll ich die Extrema(Wendepunkte/Tief-und Hochpunkte ausrechnen. Bin mit meinem Latein leider am Ende und weiß nicht wirklich wie ich vorgehen soll, weil ich an den Tag, wo das erklärt wurde gefehlt habe ^^ Vielleicht kann es ja jemand hier einigermaßen erklären, dass es für mich Sinn ergibt.

Answer 1

a) t = 1

f(x) = x³  - 3x

f'(x) = 3*x² - 3

f''(x) = 6x

f'''(x) = 6

Soweit bist du, denke ich.

Für die Extrema musst du die erste Ableitung gleich 0 setzen.

Also: 3*x² - 3 = 0

             x² = 1

            x₁ = 1           x₂ = -1

Dies sind deine extremwertverdächtigen Stellen.

Um herauszubekommen, ob sie es wirklich sind und ob ein Hochpunkt (f''(x) < 0) oder ein Tiefpunkt (f''(x) > 0) vorliegt, musst du sie in die zweite Ableitung einsetzen.

Daher:

f''(1) = 6* 1 = 6 > 0  (also ein Tiefpunkt)

f''(-1) = 6* (-1) = -6 > 0  (also ein Hochpunkt)

Nun musst du noch die zugehörigen Funktionswerte errechnen:

f(1) = -2

f(-1) = 2

Die Funktion hat also bei (1;-2) einen Tiefpunkt und bei (-1;2) einen Hochpunkt.

 

Um den Wendepunkt zu errechnen, musst du die zweite Ableitung 0 setzen.

Also: 6*x = 0

            x = 0

Dies ist eine wendepunktverdächtige Stelle. Damit sie wirklich eine Wendestelle ist, muss die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 sein. Da f'''(x) = 6 für alle x, gilt dies.

Nun musst du noch den zugehörigen Funktionswert errechnen:

f(0) = 0

Die Funktion hat also bei (0;0) einen Wendepunkt.

b) Für t = 0,5 analog.

Ergebnisse:  Hochpunkt bei (-1/2;1/4)

                     Tiefpunkt bei (1/2;-1/4)

                     Wendepunkt bei (0;0)

 

Du sparst dir doppelte Ausführung, wenn du den Parameter t mitnimmst und die Extrem- und Wendepunkte in Abhängigkeit von t ausrechnest. Dann kannst du beliebig viele t einsetzen und weißt direkt die Punkte.

f_t(x) = x³ - 3t²x

f_t'(x) = 3x² - 3t²

f_t''(x) = 6x

f_t'''(x) = 6

Somit ergibt sich für die Extremstellen: x₁= t     x₂ = -t

f_t(t) = t³ - 3t²*t = -2t³     f_t(-t) = (-t)³ - 3t²*(-t) = 2t³

Also Hochpunkt bei (-t;2t³) und Tiefpunkt bei (t;-2t³)

 

Die Wendepunkte sind unabhängig von t, daher ergibt sich immer (0;0) als Wendepunkt.