Gleichmächtigkeit anhand der Abzählbarkeit über die Injektion beweisen?

Question

Aufgabe:

Man zeige die Gleichmächtigkeit der Mengen ℕ × ℕ und ℕ mit Hilfe der Funktion
f : ℕ × ℕ → ℕ mit (i, j) → f((i, j)) := \( \frac{(i + j − 2) · (i + j − 1)}{2} \)  + i.

Problem/Ansatz:

Meine Idee war zu zeigen, dass f((i, j)) eine injektive Funktion auf ℕ ist, da dann ℕ x ℕ abzählbar unendlich ist und damit gleichmächtig. Mein Problem ist ich komm bei dem Injektivitätsbeweis nicht weiter:

f((i,j)) = f((x,y)) => \( \frac{(i + j − 2) · (i + j − 1)}{2} \)  + i = \( \frac{(x + y − 2) · (x + y − 1)}{2} \)  + i

                      => (i + j - 2) (i + j - 1) +2i = (x + y - 2) (x + y - 1) +2x

                      => i² + 2ij - 3i + j² - j + 2 = x² + 2xy - 3x + y² - y + 2

                      =>  i² + 2ij - 3i + j² - j  = x² + 2xy - 3x + y² - y

Nun weiß ich nicht wie ich weiter machen soll. Im Grunde funktioniert die Gleichung nur, wenn (i,j) = (x,y) ist, die Funktion müsste also injektiv sein, aber ich komm irgendwie nicht weiter :/

Comments

Die Funktion ist nicht injektiv wegen \(f((1,4)) = f((4,0))\). Du musst dir also einen anderen Weg suchen.

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Mit ℕ sind hier wohl positive ganze Zahlen gemeint.
Eine fast identische Frage mit dem Unterschied, dass nichtnegative ganze Zahlen gemeint sind, gab es hier bereits.

Answer 1

Die Abbildung f bildet ℕ×ℕ in dieser Weise auf ℕ ab:

Comments

Kannst das mal in Worten ausdrücken?

Meinst du eine Bijektion?

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Bist du MarajaT?

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Nein, aber es würde mich interessieren, obwohl wieder trockene Materie. :)