Grundverständnis Probleme LinA-2 ( Aufgabe zu Tripel)

Question

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Aufgabe 4 Für zwei Vektorräume \( V_{1} \) und \( V_{2} \) betrachten wir ein Tripel \( \left(V, \iota_{1}, \iota_{2}\right) \) bestehend aus einem Vektorraum \( V \) und Monomorphismen \( \iota_{1}: V_{1} \rightarrow V \) und \( \iota_{2}: V_{2} \rightarrow V \), so dass die folgende „universelle Eigenschaft" erfüllt ist: Für jeden weiteren Vektorraum \( W \) und zwei lineare Abbildungen \( R_{1}: V_{1} \rightarrow W \) und \( R_{2}: V_{2} \rightarrow W \) gibt es genau eine lineare Abbildung \( R: V \rightarrow W \) mit \( R_{1}=R \circ \iota_{1} \) und \( R_{2}=R \circ \iota_{2} \).
a) Zeigen Sie, dass das Tripel \( \left(V_{1} \oplus V_{2}, \kappa_{1}, \kappa_{2}\right) \), wobei \( \kappa_{1} \) und \( \kappa_{2} \) jeweils die kanonischen Identifikationen von \( V_{1} \) und \( V_{2} \) mit einem Unterraum von \( V_{1} \oplus V_{2} \) bezeichnen, die obige universelle Eigenschaft erfüllen.
b) Zeigen Sie, sind \( \left(V, \iota_{1}, \iota_{2}\right) \) und \( \left(V^{\prime}, \iota_{1}^{\prime}, \iota_{2}^{\prime}\right) \) zwei solche Tripel, die die obige universelle Eigenschaft erfüllen, so existiert ein Isomorphismus \( \Phi: V \rightarrow V^{\prime} \) mit \( \Phi \circ \iota_{1}=\iota_{1}^{\prime} \) und \( \Phi \circ \iota_{2}=\iota_{2}^{\prime} \).

Problem:

Ich bin ehrlich gesagt komplett überfragt. Allein das Verständnis der oben stehenden Eigenschaften und das daraus folgende zu zeigen überfordert mich komplett. Kann jemand mir das vielleicht ein bisschen erklären/runterbrechen, da ich wirklich gerade gar nichts verstehe? Danke.

Comments

Kein Interesse an meiner Antwort ?

Answer 1

a):

Sei \(V=V_1\oplus V_2\), also

\(V=\{(v_1,v_2): \; v_1\in V_1, v_2\in V_2\}\).

Dann sind \(\kappa_1,\kappa_2\) gegeben durch

\(\kappa_1:\; V_1\to V,\; v_1\mapsto (v_1,0)\) und

\(\kappa_2:\; V_2\to V,\; v_2\mapsto (0,v_2)\).

Seien nun \(R_1:\;V_1\to W\) und \(R_2:\;V_2\to W\) zwei

lineare Abbildungen, dann definieren wir \(R:\;V\to W\)

durch \(R((v_1,v_2))=R_1(v_1)+R_2(v_2)\).

Diese Definition ist zwangsläufig, weil

\(R\circ \kappa_1=R_1\) und \(R\circ \kappa_2=R_2\) gelten soll.

Zu zeigen bleibt noch die Linearität von \(R\).

Deren Nachweis überlasse ich dir.

Comments

Danke aber leider bisschen zu spät, haben die Aufgabe bereits in der Übung besprochen (Abgabe ist montag gewesen)

Trotzdem danke