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Aufgabe 4 Für zwei Vektorräume \( V_{1} \) und \( V_{2} \) betrachten wir ein Tripel \( \left(V, \iota_{1}, \iota_{2}\right) \) bestehend aus einem Vektorraum \( V \) und Monomorphismen \( \iota_{1}: V_{1} \rightarrow V \) und \( \iota_{2}: V_{2} \rightarrow V \), so dass die folgende „universelle Eigenschaft" erfüllt ist: Für jeden weiteren Vektorraum \( W \) und zwei lineare Abbildungen \( R_{1}: V_{1} \rightarrow W \) und \( R_{2}: V_{2} \rightarrow W \) gibt es genau eine lineare Abbildung \( R: V \rightarrow W \) mit \( R_{1}=R \circ \iota_{1} \) und \( R_{2}=R \circ \iota_{2} \).
a) Zeigen Sie, dass das Tripel \( \left(V_{1} \oplus V_{2}, \kappa_{1}, \kappa_{2}\right) \), wobei \( \kappa_{1} \) und \( \kappa_{2} \) jeweils die kanonischen Identifikationen von \( V_{1} \) und \( V_{2} \) mit einem Unterraum von \( V_{1} \oplus V_{2} \) bezeichnen, die obige universelle Eigenschaft erfüllen.
b) Zeigen Sie, sind \( \left(V, \iota_{1}, \iota_{2}\right) \) und \( \left(V^{\prime}, \iota_{1}^{\prime}, \iota_{2}^{\prime}\right) \) zwei solche Tripel, die die obige universelle Eigenschaft erfüllen, so existiert ein Isomorphismus \( \Phi: V \rightarrow V^{\prime} \) mit \( \Phi \circ \iota_{1}=\iota_{1}^{\prime} \) und \( \Phi \circ \iota_{2}=\iota_{2}^{\prime} \).


Problem:

Ich bin ehrlich gesagt komplett überfragt. Allein das Verständnis der oben stehenden Eigenschaften und das daraus folgende zu zeigen überfordert mich komplett. Kann jemand mir das vielleicht ein bisschen erklären/runterbrechen, da ich wirklich gerade gar nichts verstehe? Danke.

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a):

Sei \(V=V_1\oplus V_2\), also

\(V=\{(v_1,v_2): \; v_1\in V_1, v_2\in V_2\}\).

Dann sind \(\kappa_1,\kappa_2\) gegeben durch

\(\kappa_1:\; V_1\to V,\; v_1\mapsto (v_1,0)\) und

\(\kappa_2:\; V_2\to V,\; v_2\mapsto (0,v_2)\).

Seien nun \(R_1:\;V_1\to W\) und \(R_2:\;V_2\to W\) zwei

lineare Abbildungen, dann definieren wir \(R:\;V\to W\)

durch \(R((v_1,v_2))=R_1(v_1)+R_2(v_2)\).

Diese Definition ist zwangsläufig, weil

\(R\circ \kappa_1=R_1\) und \(R\circ \kappa_2=R_2\) gelten soll.

Zu zeigen bleibt noch die Linearität von \(R\).

Deren Nachweis überlasse ich dir.

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Danke aber leider bisschen zu spät, haben die Aufgabe bereits in der Übung besprochen (Abgabe ist montag gewesen)

Trotzdem danke

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