Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene E

Question

Aufgabe:

Eine Ebene ist zur Geraden g orthogonal und enthält den Punkt A. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene.

g: \( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 5\\17\\43 \end{pmatrix} \) + t · \( \begin{pmatrix} 1\\3\\-5 \end{pmatrix} \) ; A(0;0;0)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Normale ausgerechnet, aber da kommt keine Koordinantengleichung raus...

Answer 1

Aloha :)

Wenn ein Punkt \(X=(x_1;x_2;x_3)\) innerhalb der gesuchten Ebene liegt, steht der Vektor \(\overrightarrow{AX}\) vom Ankerpunkt \(A(0;0;0)\) zu diesem Punkt \(X\) senkrecht auf dem Richtungsvektor \(\vec v=(1;3;-5)^T\) der Geraden \(g\). Das Skalarprodukt aus \(\vec v\) und \(\overrightarrow{AX}\) muss also null sein:

$$\vec v\cdot\overrightarrow{AX}=0\implies\vec v\cdot(\vec x-\vec a)=0\stackrel{\vec a=\vec 0}{\implies}\vec v\cdot\vec x=0\implies\begin{pmatrix}1\\3\\-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0\implies$$$$\pink{x_1+3x_2-5x_3=0}$$