Tschebyschevsche Ungleichung lösen

Question

Aufgabe:

Hallo ,

Ich habe hier 2 Aufgaben einmal:

Wenn eine Zufallsvariable den Mittelwert 10 und die Varianz 2 hat, Wie groß ist höchstens die Wahrscheinlichkeit Für P({X<7}∪{X>13})?

Die andere Aufgabe :

Eine Münze werde zehnmal geworfen. Man betrachte das Extremereignis E , dass mehr als achtmal oder weniger als zweimal Kopf fällt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für E maximal, wenn man die Tschebyschevsche Ungleichung anwendet?

Für beide Aufgaben soll man die Tschebyschevsche Ungleichung verwenden

Problem/Ansatz:

Hier in der Lösung lösen sie die Aufgaben so :

Wieso löst man diese beide Aufgaben anders? Bei der Aufgabe 2 die Intervallen so :

E= ( 8< X) u ( 2 > x ) = ( 9=< x) u ( 1 >= x)

Und bei der Aufgabe 1 P (( x < 7 ) u ( x > 13 ) ).

Warum verändern sich die Intervalle , obwohl die Aufgabenstellung fast die gleiche ist

Danke schon im voraus

Answer 1

Bei der ersten Aufgabe weißt du außer Mittelwert und Varianz nichts über die Zufallsvariable.

Bei der zweiten Aufgabe handelt es sich aber um eine binomialverteilte Zufallsgröße, die nur ganzzahlige Werte von 0 bis 10 annehmen kann.

Damit gilt zusätzlich \(\{|X-5|> 3\} = \{|X-5|\geq 4\}\).

Du könntest natürlich wie bei der ersten Aufgabe rechnen, bekommst dann aber eine schlechtere Abschätzung, da du die Zusatzinformation "Binomialverteilung" nicht in die Berechnung mit einfließen lässt.

p.s.:
Übrigens erscheint mir die Tschebyscheff-Ungleichung in folgender Form für deine Aufgaben angenehmer zum rechnen: $$P(|X-\mu|\geq k)\leq \frac{\sigma^2}{k^2}$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Wie sieht dann zum Beispiel in dieser Aufgabe die Intervalle aus?

Ein Bäcker verkauft im Schnitt 1000 Brezeln an einem Tag. Nach sorgsamer Beobachtung weiß der Bäcker, dass eine Standardabweichung von 100 Brezeln am Tag vorliegt.

b) Mit maximal welcher Wahrscheinlichkeit verkauft der Bäcker mindestens 1500 Brezeln oder maximal 500 Brezeln am Tag?

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X - Anzahl verkaufter Brezeln. Gesucht:

\(X\geq 1500\) oder \(X \leq 500\).

Mit \(\mu = 1000\) ist das äquivalent zu

\(X-\mu \geq 500\) oder \(X-\mu \leq -500\)

Das ist wiederum äquivalent zu

\(|X-\mu|\geq 500\).

Hier kannst du also die Tschebyscheff-Ungleichung ohne weiteres Rumrechnen anwenden.