Wie lautet die Dichtefunktion f(x)?

Question

Aufgabe:

Eine stetige Zufallsvariable X auf dem Intervall [0,1] habe die sogenannte Verteilungsfunktion

$$F(X)= P(0 \leq X \leq x)= 4x^3-6x^2+3x$$

a) Wie lautet die Dichtefunktion f(x)?

Muss ich hier einfach ableiten?

b) Rechnen Sie nach, dass die Dichtefunktion f(x) normiert und auf dem Intervall [0,1] positiv ist.

Wie mache ich das?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 0.4 und 1 annimmt, d.h. welchen Wert hat

$$P(0.4 \leq X \leq 1)?

Wie geht das?

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) Wie lautet die Dichtefunktion f(x)?

Muss ich hier einfach ableiten? JA

f(x) = 12·x^2 - 12·x + 3 ; x ∈ [0 ; 1]

b) Rechnen Sie nach, dass die Dichtefunktion f(x) normiert und auf dem Intervall [0,1] positiv ist.

f'(x) = 24·x - 12 = 0 → x = 0.5

f(0.5) = 0 → Kleister Funktionswert 0, der nach oben geöffneten Parabel.

∫ (0 bis 1) f(x) dx = F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1 → Normiert

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 0.4 und 1 annimmt, d.h. welchen Wert hat

∫ (0.4 bis 1) f(x) dx = F(1) - F(0.4) = 1 - 0.496 = 0.504