Gleichgewicht koexistieren oder nicht

Question

Aufgabe:

In einem Modell der Konkurrenz um einen gemeinsamen Futtervorrat werde die Entwicklung zweier konkurrierender Spezies beschrieben durch

\( \dot{u}=u(1-u-v), \quad \dot{v}=v\left(\frac{3}{4}-v-\frac{1}{2} u\right) . \)

Hierbei stehen \( u(t) \) und \( v(t) \) für die Populationsgrößen der beiden Spezies zum Zeitpunkt \( t \).

i) Finden Sie die Gleichgewichtspunkte. Können die beiden Spezies in einem Gleichgewicht koexistieren?

ii) Skizzieren Sie ein Phasenporträt, das diese Koexistenz gut beschreibt. Wird dieses Gleichgewicht auch bei einer kleinen Störung wieder langfristig erreicht? Begründen Sie qualitativ mit dem Phasenporträt.

Problem/Ansatz:

Hey,

Aufgabenteil i) habe ich raus

i) (u,v) = (0,0), (u,v) = (1,0) und (u,v) = (-5/4 , -3/4)

was ich dazu geschrieben habe ist: "Nur die ersten beiden Punkte sind sinnvoll zu betrachten, weil negative Populationsgrößen nicht möglich sind. = können nicht koexistieren weil keine der bneiden Punkte positiv ist.

ii) da hänge ich nun schon länger, wie skizzierten man diese Lösung. Ich verstehe die Aufgabe allgemein nicht. Hoffe da kann jemand helfen und bei meiner i) mal kurz drüberschauen ob das überhaupt sinn ergibt :)

Answer 1

Hallo
natürlich ist (0,0) auch keine sinnvolle Lösung. Wie du auf die (1,0) und die negativen Werte kommst sehe ich nicht ein . ich habe (0.5,0.5)
zu ii: im u,v Koordinatensystem trage an vielen Punkten (in der Umgebung des stationären) die Richtung des Vektors (u',v') ein dann ergeben sich die Lösungen  mit einem beliebigen Anfangswert indem du den Pfeilen entlang gehst, du wirst sehen, die landen alle in  (0.5,0.5)

Gruß lul

Comments

ich komme nicht auf (0.5,0.5).

Ein Gleichgewichtspunkt ist ein Punkt, an dem sich die Populationen nicht ändern, d.h. u˙ = v˙ = 0. Wir setzen also die rechte Seite der obigen Gleichungen gleich Null und lösen das resultierende System von Gleichungen.

Was ich nun habe ist:

Zusammenfassend haben wir vier Gleichgewichtspunkte: (0,0), (0,2), (2,0) und (1,1/2). Nur der letzte Punkt, (1,1/2), repräsentiert eine Koexistenz beider Spezies.

Ich weiß aber nicht wie du auf 0.5,0,5 kommst kannst du mir deinen Rechenweg aufzeigen? :=)

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u'=0  a)u=0 und für u≠0  I)1-u-v=0

v'=0 a)v=0  und für v≠0 II) 3/4-v-u/2=0

I)-II) 1/4-u/2=0 daraus u=1/2

mit u+v=1 dann v=1/2

deine Werte z.B, (0,2) u=0 , v' = 2*(3/4-2)=-2≠0 entsprechend kannst du deine anderen Werte überprüfen,

hast du das Phasendiagramm gezeichnet? und eine Lösung eingezeichnet?

in der Umgebung des stabilen Punktes genauer zeichnen!

lul

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danke dir ^^

das diagramm zeichne ich dann morgen früh und schicke es hier rein damit du es mal überprüfen kannst

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ich habe gerade einen sehr großen fehler begangen,

Die Aufgabe lautet:

Text erkannt:

Ähnlich wie in der Tutoriumsaufgabe 8.1 werde die Entwicklung zweier konkurrierender Spezies nun durch
\( \dot{u}=u\left(1-\frac{1}{2} u-v\right), \quad \dot{v}=v(2-v-2 u) \)
beschrieben.
i) Finden Sie die Gleichgewichtspunkte. Können die beiden Spezies in einem Gleichgewicht koexistieren?
ii) Skizzieren Sie ein Phasenporträt, der diese Koexistenz gut beschreibt. Wird dieses Gleichgewicht auch bei einer kleinen Störung wieder langfristig erreicht, oder was wird stattdessen passieren? Argumentieren Sie mit dem Phasenporträt.

ich habe ausversehen die Tutoriumsaufgabe hier reingesendet aber "meine Lösung" für diese Aufgabe. also nochmal, ist mein erster Ansatz falsch für diese Aufgabe... Sorry für den fehler (Aufgabenteil i)

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-> das ist der Account von meinem Freund aber ich habe ausversehen mit seinem Acc geschrieben, hoffe das ist okay :/

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Was ist jetzt die Frage? die 2 Klammern 0 setzen und das GS (MIT PROBE!) lösen kann ja nicht so schwer sein , dein (1/1/2) löst 2−v−2u=0 nicht!

lul