Bestimmen Sie in ℂ alle Lösungen der Gleichung z^{4}-2 z^{3}+8 z^{2}-6 z+15=0 ; begründen Sie Ihre Rechenschritte.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie in \( \mathbb{C} \) alle Lösungen der Gleichung \( z^{4}-2 z^{3}+8 z^{2}-6 z+15=0 \); begründen Sie Ihre Rechenschritte. (Hinweis: \( \sqrt{3} \cdot j \) ist eine Lösung).

diese Aufgabe gilt es zu lösen. Ich habe bereits mehrere Lösungsansätze gesehen, jedoch lassen mich alle nur noch verwirrter zurück. Wäre super dankbar, wenn mir wer auf die Sprünge helfen könnte und die Schritte ordentlich erklären könnte!

Danke schon mal

Comments

Aus dem Hinweis folgt, dass \(z^4-2z^3+8z^2-6z+15=0\) ohne Rest durch \(z^2+3\) teilbar ist:
\(z^4-2z^3+8z^2-6z+15=(z^2+3)·(z^2-2z+5)\).

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Woher folgst du dass mit z^2+3?

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Hallo

mit jeder Lösung ist auch die konjugierte eine Lösung also mi √3*j auch -√3*j

das Produkt ist dann z^2+3

lul

Answer 1

Da du nicht mehr reagierst hier die Antwort, dividiere durch die 2 bekannten Nullstellen,

Gruß lul

Answer 2

z^4 - 2·z^3 + 8·z^2 - 6·z + 15 = 0

Wenn eine Lösung komplex ist, dann ist auch das komplex konjugierte eine Lösung. Damit sind die Linearfaktoren

(z - √3·i)·(z + √3·i) = z^2 + 3

(z^4 - 2·z^3 + 8·z^2 - 6·z + 15) / (z^2 + 3) = z^2 - 2·z + 5

Die Lösungen vom Restpolynom emitteln wir z.B. mit der pq-Formel

z^2 - 2·z + 5 = 0 --> z = 1 ± 2·i

Damit hat man dann alle 4 komplexen Lösungen gefunden.