Das geht doch mit vollständiger Induktion oder?

Question

Aufgabe:

Beweise: Für alle natürlichen Zahlen N gilt

$$\sum_{n=1}^{2N} \frac{(-1)^{n-1}}{n}= \sum_{n=1}^N \frac{1}{N+n}$$

Problem/Ansatz:

Das geht doch mit vollständiger Induktion oder?

Setze ich dann beim Induktionsanfang N=1? Aber wie soll das gehen

Answer 1

Setze ich dann beim Induktionsanfang N=1?

Ja

Aber wie soll das gehen

Setze zunächst N = 1 ein und zeige das die Gleichung dann gitl. Schaffst du das nicht?

[spoiler]

∑ (n = 1 bis 2) ((-1)^(n - 1)/n) = ∑ (n = 1 bis 1) (1/(1 + n))
(-1)^(1 - 1)/1 + (-1)^(2 - 1)/2 = 1/(1 + 1)
1/2 = 1/2 → wahr

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Comments

Ich habe

$$\frac{(-1)^{1-1}}{1}+ (-1)^{2-1}/2 =-1/2 $$raus

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Ich dachte (-1)^0 ist 0.

Es ist natürlich 1.

Also komme ich auch auf 1/2=1/2

So

Wie geht es jetzt weiter

$$\sum_{n=1}^{2(N+1)} (-1)^{n-1}/n =$$ ...Hier hänge ich wie ich die Summe auseinander ziehen kann

Oben steht ja dann 2N+2 und ich würde die beiden trennen ..aber wie

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Ich dachte (-1)^0 ist 0.

Hast du keinen Taschenrechner zur Kontrolle?

Oben steht ja dann 2N + 2 und ich würde die beiden trennen ..aber wie

Du hast die Summe bis 2N und dann noch die einzelnen Summanden 2N + 1 und 2N + 2

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Okay ich versuche es und poste es dann.

Doch natürlich habe ich einen Taschenrechner nur ich war so davon überzeugt, dass ich gar nicht auf die Idee gekommen bin diesen zu nutzen

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Ist das dann

$$\sum_{n=1}^{2(N+1)} \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \frac{(-1)^{2N+1-1}}{2N+1}+ \frac{(-1)^{2N+2-1}}{2N+2}$$

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Ist das dann

Leider nein. Du solltest lernen etwas sorgfältiger zu arbeiten. Verstehst du selber was du da schreibst. Und plötzlich wird aus einer Gleichung auch einfach nur ein Term?

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Ich versteh das mit den einzelnen Summanden nicht wie ich das machen muss

Answer 2

Hier ist noch ein Weg ohne Induktion. Wir splitten einfach in gerade/ungerade auf:

$$\sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n-1}\frac 1n = \sum_{k=1}^{N}\frac 1{2k-1} - \sum_{k=1}^{N}\frac 1{2k}$$

Jetzt füllen wir vorn die geraden Nenner auf und müssen sie hinten wieder subtrahieren:

$$= \sum_{n=1}^{2N}\frac 1{n} - 2\sum_{k=1}^{N}\frac 1{2k}$$

$$=  \sum_{n=1}^{2N}\frac 1{n} - \sum_{k=1}^{N}\frac 1{k} $$

$$=   \sum_{n=N+1}^{2N}\frac 1{n} = \frac 1{N+1} + \cdots + \frac 1{N+N}$$

Wenn man das noch nicht versteht, schreibt man sich einfach ein paar Terme zum Beispiel für \(N=3\) auf. so sieht man, was passiert.