Problem wie kommt man auf pi² /2 der cosinus geht doch bei x gegen Pi zu 1, also 1 -1 wie kommt man auf die Lösung?

Question

Aufgabe: Stetigkeit

Problem/Ansatz:Gegeben sei die Funktion x² / ( 1 - cos(x))

Sie soll in dem Intervall [-1,7] auf Stetigkeit untersucht werden, bei x=  Pi ist der Funktionswert 1

laut Musterlösung Grenzwertbetrachtung f(x) von x gegen Pi ist  pi² / 2   ungleich Funktionswert alsoan Stelle Pi nicht stetig

Problem wie kommt man auf pi² /2  der cosinus geht doch bei x gegen Pi zu 1, also 1 -1  wie kommt man auf die Lösung ?

Answer 1

Es ist aber doch cos(pi)=-1 also im Nenner eine 2.

Comments

Mei, klar jetzt sehe ich das auch

Answer 2

f(x)=\( \frac{x^2}{1-cos(x)} \)

f(π)=\( \frac{π^2}{1-cos(π)} \)=\( \frac{π^2}{1-(-1)} \)=\( \frac{π^2}{2} \)

Answer 3

Die Funktion ist an den Nullstellen des Nenners nicht definiert.

Dies sind Nullstellen: \(x_1=0,\; x_2=2\pi\).

Die Frage ist, ob wir diese Definitionslücken durch stetige

Fortsetzung schließen können.

\(x_1=0\):

\(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{1-cos(x)}=\) --- l'Hospital --- \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{sin(x)}=2\).

Lücke ist hebbar.

\(x_2=2\pi\):

\(\lim_{x\rightarrow 2\pi}\frac{x^2}{1-\cos(x)}\) existiert nicht, da Zähler \(\rightarrow 4\pi^2\),

Nenner aber \(\rightarrow 0\).

Lücke nicht hebbar.