Kann man damit irgend etwas machen bzw auf einen anderen Weg auf die 5 kommen, anstatt für x irgendwelche Werte zu …

Question

Hallo liebes Forum, ich hätte hier mal eine Aufgabe aus der 7ten Klasse:

Beginne mit der Zahl 2,5. Subtrahiere die Zahl 1,7 so lange, bis das Ergebnis eine ganze Zahl ist. Gib diese Zahl an.

2,5 -1,7-1,7-1,7-1,7-1,7=-6

Ich stell mir jedoch mal die Frage, ob man das ganze auch irgendwie formal schreiben kann, ohne das ganze durchzuprobieren.

Ich könnte ja schreiben 2,5 - x*1,7 = y mit x ∈ ℕ und y ∈ ℤ, eine ganze Zahl würde sich ja aus den positiven, sowie negativen geraden und ungeraden Zahlen ergeben, also y = +/- 2z oder y = +/- 2z+1 mit z ∈ ℕ. Kann man damit irgend etwas machen bzw auf einen anderen Weg auf die 5 kommen, anstatt für x irgendwelche Werte zu probieren?

Answer 1

2,5 - x*1,7 = y ist doch gut, das gibt

x*1,7 = 2,5 - y

Und wenn y eine ganze Zahl ist, steht rechts etwas mit .....,5

Und x*1,7 endet auf ....,5 immer, wenn x ein ungerades Vielfaches von 5

ist, beim ersten Mal also für x=5.

Comments

Vielen Dank, das war sogar auch noch eine meiner Überlegungen^^ Ich dachte man könnte es vll irgendwie formal schön darstellen.

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Ich dachte man könnte es vll irgendwie formal schön darstellen.

das kann man durchaus. Wandle die Gleichung so um, dass nur ganze Zahlen darin vorkommen und \(x\) und \(y\) auf einer Seite stehen:$$\begin{aligned} 2,5 - x\cdot 1,7 &= y &&|\,+x\cdot 1,7\\ 2,5 &= y +x\cdot 1,7&&|\,\cdot 10\\ 25 &= 17x + 10y \end{aligned}$$Jetzt 'löst' man die diophantische Gleichung \(17s+10t=1\) mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus. Die Lösung ist \(s=3\) und \(t=-5\). Anschließend multipliziert man mit \(25\)$$17 \cdot (\underbrace{3\cdot 25}_{=x_0}) + 10 \cdot (\underbrace{-5\cdot25}_{=y_0}) = 25$$Womit man die Lösung \(x_0=75\) und \(y_0=-125\) erhält. Dies ist aber nicht die einzige Lösung! Da der Ausdruck $$17\cdot(-10n) + 10\cdot(17n) = 0$$immer \(0\) ergibt, kann man das Paar \((-10|\,17)\) beliebig oft zur Ausgangslösung addieren. Also gibt es beliebig viele Lösungen der Form$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}75\\ -125\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-10\\ 17\end{pmatrix}\cdot n, \quad n \in \mathbb Z$$Lt. Aufgabenstellung ist nun \(x\gt0\) und \(x\) soll möglichst klein sein. Formal ergibt sich dann das 'optimale' \(n\) aus der Forderung, dass die größte (weil \(x\) klein werden soll) ganze Zahl \(n\) gesucht ist, welche folgende Gleichung erfüllt$$\begin{aligned} x = 75 - 10n &\ge0\\ 75 &\ge 10n\\ 7,5&\ge n \\\implies n &= \lfloor7,5\rfloor=7\end{aligned}\\ \implies x = 75 - 10\cdot 7 = 5$$

Answer 2

Hallo,

denkbar wäre auch

25-17x=10y

25-10y=17x

5*(5-2y)=17x

Da x und y ganze Zahlen sind, muss x ein Vielfaches von 5 sein

Sei x=5.

5-2y=17

y=-6

Für eine 7. Klasse dürfte das aber zu schwierig sein.

:-)