1) Der Punktweise Grenzwert ist die 0 Funktion. Um das zu zeigen, könnte man entweder mit der Monotonie des ln argumentieren oder wenn man das etwas ausführlicher machen möchte, einen Epsilon- Beweis führen:
Wähle ε > 0 beliebig und x aus dem Definitionsbereich beliebig, finde nun ein N∈ℕ :Für alle n>N: |fn(x)|< ε.
Für die Abschätzung könnte man |f(x)|< |( \frac{1}{ln(\sqrt{nx2 +1})} \) verwenden (da die Wurzel durch das +1 immer größer 1 ist, ist der ln auch positiv).
Wähle N nun größer als, exp(\( \frac{1}{ε} \) )2 / x2 und schätze den Term nach oben ab, indem du das +1 in der Wurzel im ln weglässt. Umschreiben sollte dann die gewünschte Abschätzung liefern.
2) Nein, angenommen fn würde gleichmäßig auf (0, ∞) konvergieren, so wählt man die folge x= \( \sqrt{1/n} \) und |fn(xn)|> 1/ln(2). Was ein Wiederspruch ist, da fn punktweise gegen die 0 Funktion konvergiert, dh. falls sie gleichmäßig gegen ein f konvergieren sollte, so muss sie gegen die 0 Funktion konvergieren.
3) Ja auf [1, ∞) konvergiert fn gleichmäßig gegen f=0. Hierfür prüfe das ganze mit der Definition für gleichmäßige Konvergenz nach. Wähle ε>0 beliebig, finde ein N∈ℕ, sodass für alle x∈ [1, ∞) gilt : |fn(x)| < ε. Die letzte Abschätzung sollte so ähnlich wie die aus 1) gehen, beachte, dass die Wurzelfunktion monoton steigt, dh. du kannst das x2 aus der Wurzel weglassen (da x ≥ 1) und dann wähle dein N größer als exp(1/ε)2 , dann müsste das so klappen.
Sorry wenn ich bei den Abschätzungen ein paar Fehler reingemacht habe (aber vom Prinzip her sollte das so klappen). Bei Fragen etc. kannst du dich ja gerne nochmal melden!
