Aufgabe: Gegeben sei die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit
\( \begin{aligned} f_{n}: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ f_{n}(x) &:=\frac{1}{n\left(1+n^{2} x^{2}\right)} \end{aligned} \)
a) Zeigen Sie, dass \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.
b) Zeigen Sie, dass \( \left(f_{n}^{\prime}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert.
c) Bestimmen Sie für alle \( n \in \mathbb{N} \) die globalen Extrema von \( f_{n}^{\prime} \).
d) Zeigen Sie, dass \( \left(f_{n}^{\prime}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert.
Problem/Ansatz:
Wie löse ich das?
