Zeigen Sie: (fn)n∈ℕ konvergiert auf [0, 1] gleichmäßig gegen die Nullfunktion.

Question

Aufgabe:

Für jedes n ∈ ℕ sei f_n : [0, 1] → [0, +∞) eine monoton wachsende Funktion. Weiter gelte
lim _n→∞ f_n(1) = 0.
Zeigen Sie: (f_n)n∈ℕ konvergiert auf [0, 1] gleichmäßig gegen die Nullfunktion.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre erst zu prüfen ob (f_n) punktweise konvergiert:

lim _n→∞ f_n(x) = f(x) 
Aber danach weiß ich nicht weiter, wie man dies überprüft. Der Schritt nachdem man die punktweise Konvergenz überprüft hat, wäre lim sup |f_n(x) - f(x)| = 0 zu prüfen. Auch hier weiß ich nicht weiter. Wäre für Hilfe dankbar.

Answer 1

\(x \in [0,1] \Rightarrow 0\leq f_n(x)\leq f_n(1)\): Sandwich-Lemma liefert

\(\lim_{n \to \infty}f_n(x)=0\;\; \forall x\in [0,1]\) ...

Nun denke über das Supremum von \(|f_n(x)|\) auf dem Intervall \([0,1]\) nach ;-)

Comments

Wegen 0≤f_n(x)≤f_n(1) ist sup|f_n(x)| = f_n(1)

Nun kann man die gleichmäßige Konvergenz überprüfen:

lim sup |f_n(x)-f(x)| = lim sup |f_n(x) - 0| = lim sup |f_n(x)|
Wegen der Monotonie und sup|f_n(x)| = f_n(1) folgt:
lim sup |f_n(x)| = 0

Liege ich richtig?

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Ja. Das finde ich auch !