Aufgabe:
Es seien \( a<b \) reelle Zahlen und \( f_{n}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine Folge von Funktionen, die gleichmäßig gegen \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) konvergiert.
Zeigen Sie: Gilt \( \left|f_{n}(x)\right| \geq K \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) und alle \( x \in[a, b] \) mit einer Konstanten \( K>0 \), so konvergiert die Folge \( \frac{1}{f_{n}} \) gleichmäßig gegen die Funktion \( \frac{1}{f} \).
Zeigen Sie durch ein einfaches Gegenbeispiel, dass die Voraussetzung \( f_{n}(x)>0 \) für diesen Schluss nicht reicht.
Problem/Ansatz:
Gerade fehlt bei mir die Beweisidee ebenso wie das Gegenbeispiel dazu, ich habe noch eine idee, sollte eine Funktionenfolge gleichmäßig konvergieren gegen ein f, ohne dass es eine Definitionslücke gibt, mit dieser Konstante. ansonsten hab ich auch nicht wirklich eine Ahnung, was man für ein Gegenbeispiel wählen kann für die Gegenaussage.
