Zeigen Sie: Genau dann konvergiert (f_{n})_{n ∈ ℕ} gleichmäßig gegen f auf D , wenn für jede Folge (x_{n})_{n ∈ ℕ} …

Question

Sei \( D \subset \mathbb{R}, D \neq \emptyset \) und \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von Funktionen \( f_{n}: D \rightarrow \mathbb{R} \), welche punktweise auf \( D \) gegen die Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) konvergiert. Zeigen Sie: Genau dann konvergiert \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gleichmäßig gegen \( f \) auf \( D \), wenn für jede Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( D \) gilt:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(f_{n}\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n}\right)\right)=0 . \)

Problem/Ansatz:

Wie beweise ich diese Aufgabe?

Answer 1

Hallo,

es sei

$$M_n:= \sup \{|f_n(x)-f(x)| \mid x \in D\}$$

bzw. \(\infty\), wenn diese Menge unbeschränkt ist.

Wenn nun die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert, dann bedeutet das: \(M_n \to 0\). Also für die Folgenelemente:

$$|f_n(x_n)-f(x_n)| \leq M_n \to 0$$

Die umgekehrte Aussage beweisen wir indirekt: Wenn die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert, existiert ein \(\epsilon>0\) und dazu eine Teilfolge \((n_k)\) mit \(c_{n_k} \geq \epsilon\). Aufgrund der Definition des Suopremums existiert eine Folge \((x_{n_k})\) mit

$$|f_{n_k}(x_{n_k})-f(x_{n_k})| \geq 0.5c_{n_k} \geq 0.5 \epsilon$$

Durch Ergänzung der Folge erhält man dann einen Widerspruch.

Gruß mathhilf