Hallo,
du schreibst in deinem Ansatz \(\lim_n f_n(x_n)=f(x_n)\). Das macht nicht wirklich Sinn, da auf der rechten Seite immer noch ein \(n\) steht. Ein ähnliches Problem taucht dann entsprechend in den folgenden Schritten auf.
Die Schwierigkeit liegt darin, dass sich bei \(f_n(x_n)-f(x_n)\) sowohl die Funktion, als auch der betrachtete Punkt ändern.
Ich schreibe nochmal kurz die Definiion auf, weil ich die oft benutzen werde:$$ f_n\rightrightarrows f\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0\,\exists N\in\N\,\forall n\geq N\,\forall x\in D:\quad |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$
Wie sieht diese Definition negiert aus? (wird bei \(\Leftarrow\) wichtig)
Nun zum eigentlichen Beweis:
\(\Rightarrow\):
Es gilt also \(f_n\rightrightarrows f\).
Sei \((x_n)_n\) eine beliebige Folge in \(D\). Wir müssen jetzt zeigen, dass $$\lim_n(f_n(x_n)-f(x_n))=0\tag{1}$$
Beachte, dass wie vorhin schon erwähnt sich \(f_n\) und \(x_n\) mit steigendem \(n\) ändern. Zum Glück haben wir gleichmäßige Konvergenz gegeben, d.h. es stört nicht wirklich, wenn sich die Punkte ändern. (In der Definition erkennst du das daran, dass ein \(N\) gewählt wird, das für alle \(x\in D\) gilt. Vergleiche mit der pktw. Konvergenz, wo du zuerst das \(x\) wählst). Wir zeigen (1) jetzt mit der klassischen \(\varepsilon\)-Definition des Grenzwerts.
Sei also \(\varepsilon>0\), dann gibt es aufgrund von \(f_n\rightrightarrows f\) ein \(N\in\N\) sodass für alle \(n\geq N\) und \(x\in D\) gilt:$$ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$
Also gilt für alle \(n\geq N,m\in\N\):$$ |f_n(x_m)-f(x_m)|<\varepsilon$$
Damit also schließlich für alle \(n\geq N\):$$ |f_n(x_n)-f(x_n)|<\varepsilon$$
Somit gilt (1) und diese Richtung ist bewiesen.
\(\Leftarrow\):
Es gelte also $$ \lim_n(f_n(x_n)-f(x_n))=0\tag2$$
für alle Folgen \((x_n)_n\) in \(D\).
Angenommen \(f_n\rightrightarrows f\) gilt nicht. Dann \(\exists\varepsilon>0\) sodass \(\forall N\in\N\,\exists m\geq N\,\exists x_{m}\in D\) mit $$ |f_{m}(x_{m})-f(x_{m})|>\frac{\varepsilon}{2}\tag3$$
Wir wollen das jetzt nutzen um eine Folge zu definieren, die (2) nicht erfüllt. Nach (3) finden wir eine Folge \((a_k)_k\) in \(\N\) und eine Folge \((x_{a_k})_k\) in \(D\) sodass \(a_1\geq1\) und dann rekursiv \(a_{k+1}>a_k\) mit $$ |f_{a_k}(x_{a_k})-f(x_{a_k})|>\frac{\varepsilon}{2}\tag4$$
Die Folge \((x_{a_k})_k\) selber können wir noch nicht nehmen, da evt. immer \(f_k(x_{a_k})\neq f_{a_k}(x_{a_k})\). Deswegen füllen wir die Lücken noch auf, sei dazu \(d\in D\), wir definieren die Folge \((y_n)_n\) in \(D\) durch:$$ y_n:=\begin{cases}x_{a_k}&n=a_k\\d&\text{sonst}\end{cases}$$
Diese Folge steht dann im Widerspruch zu (2). (Warum?)
Das Konstruieren der Folge am Ende ist etwas umständlich, vielleicht gibt es da einen eleganteren Weg.
(Die Voraussetzung aus der Aufgabe, dass \(f_n\to f\) punktweise gilt ist glaube ich nicht notwendig.)
LG Dojima
