Zeige: Konvergiert f_(n) auf [a,b] punktweise gegen 0, dann auch gleichmässig.

Question

für \(n\in\mathbb{N}\) sei \(f_n : [a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) eine Folge stetiger Funktionen mit der Eigenschaft

$$f_n \geq f_{n+1}(x)$$ für alle x\(\in\)[a,b und alle \(n\in\mathbb{N}\) 

Zeige: Konvergiert (\(f_n\)) punktweise gegen 0 auf [a,b],so konvergiert (\(f_n\)) auch gleichmässig gegen 0 auf [a,b]

Comments

Das ist eine reine Verstaendnisaufgabe. Wenn Du die nicht selber loesen kannst, dann ...

Answer 1

Vermutlich sind wir nicht alle so genial wie Gast be1255.

Ich würde es so sehen:

Jede stetige Funktion auf einem abg. Intervall besitzt Maximum an der Stelle x_max und

Minimum ander Stelle x_min.

Überall punktweise Konvergenz gegen 0 heißt:

Für jedes x aus [a;b] und für jedes eps > 0 gibt es N aus IN mit

                             n > N ⇒ | f_n(x) - 0 | < eps

also                                | f_n(x)  | < eps

Wähle nun x = x_min dann esitiert ein N1 mit n > N1 .....

und dann x = x_max dann esitiert N2 mit n > N2 ....

Sei also eps>0 und ist

 nun N der größere ( bzw. nicht kleinere) der Werte N1 und N2

dann gilt für alle x aus [a;b]      n > N ⇒ | f_n(x)  | < eps

bzw.            | f_n(x)  - 0 | < eps.

Also konv. f_n gleichmäßig gegen die Nullfkt.

Die Vor. f_n(x) ≥ f_n+1(x) braucht man m. E. nicht.

Comments

Die Ausführungen von mathef sind falsch.

Bei der Behauptung handelt es sich um eine spezielle Variante des Satzes von Dini - findet sich mit Beweis bei Wikipedia

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kleiner Tipp wo in meinen Ausführungen der Fehler ist ???

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xmin und xmax hängen von n ab, daher kannst Du damit nicht Deine N1 und N2 definieren.