Aufgabe:
Betrachten Sie die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit
\( f_{n}(x):=(1-x)^{n} x^{n}, x \in[0,1] . \)
a) Konvergiert die Folge punktweise gegen eine Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) ? Geben Sie in diesem Fall die Funktion \( f \) an.
b) Untersuchen Sie die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf gleichmäßige Konvergenz auf \( [0,1] \).
Kann man so die gleichmäßige Konvergenz beweisen?
\( f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} (1-x)^{n} x^{n} = 0, x \in[0,1]\)
|\(f_{n}(x)-f(x)| = (1-x)^n*x^n ≤ x^n \)
⇒ \(x^n\) ist eine Nullfolge, also ist \(f_{n}(x)\) gleichmäßig kovergent auf \( [0,1] \).