Aufgabe:
Es sei c ∈ ℝ fest gewählt. Untersuchen Sie die Funktionenfolge (fn)n∈ℕ, definiert durch
fn : [0, 1] → ℝ, fn(x) := (cx(1 − x))n,
auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
Problem/Ansatz:
Für die punktweise Konvergenz müsste man lim fn(x) = f(x) untersuchen. Da x aus [0, 1] ist muss man hier 3 Fälle unterscheiden:
1 Fall (x=0): fn(0) = (c0(1 − 0))n = 0, also lim 0 = 0
2 Fall (x=1): fn(1) = (c1(1 − 1))n = 0, also lim 0 = 0
3 Fall (x∈(0,1)): lim cx(1 - x)n = 0
Also konvergiert (fn)n∈ℕ auf [0,1] punktweise gegen f: [0,1] → ℝ, f(x) = 0 für alle x ∈ [0,1]
Nun untersuche man die gleichmäßige Konvergenz mit lim sup |fn(x)-f(x)| = 0, bzw. weil f(x) = 0 nur lim sup |fn(x)|
Hier bietet sich auch eine Fallunterscheidung an:
1 Fall (x∈{0,1}): lim sup |(cx(1-x))n| = 0
2 Fall (x∈(0,1) und c=0): lim sup |(0x(1 - x))n| = 0
3 Fall (x∈(0,1) und c∈ℝ\{0}): lim sup |(cx(1 - x)n| = cx(1-x) ≠ 0
Gleichmäßige Konvergenz erhält man also nur im 1 und 2 Fall. Falls aber x∈(0,1) und c∈ℝ\{0} so konvergiert (fn) nicht gleichmäßig gegen f, weil lim sup |(cx(1 - x)n| = cx(1-x) ≠ 0
Meine Frage ist nun: Kann man das so begründen mit den Fallunterscheidungen oder gibt es hier andere Methoden zur Erarbeitung der Lösung? Wäre für Hilfe dankbar.
