Begründen Sie, dass m = min{ ||x||(2) | ||x||(1) = r }, r > 0, existiert und m > 0 gilt.

Question

Seien ||·||_(j), j ∈ {1,2}, zwei beliebige Normen auf ℝⁿ. Begründen Sie, dass

m = min{ ||x||₍₂₎ | ||x||₍₁₎ = r }, r > 0, existiert und m > 0 gilt.

Answer 1

Die r-Sphäre \(S_r\) unter der Norm (1) ist kompakt, daher nimmt die

Norm (2) dort ihr Minimum an; denn die Norm (2) ist stetig.

Dieses Minimum ist also >0; denn alle Elemente von \(S_r\)

haben eine Norm (2), die >0 ist.