Max und Min auf Q mit Norm? Es sei f: R^2 -> R definiert durch \(f(x,y) = { x }^{ 2 } - xy + { y }^{ 2 } + x - y - 2.\)

Question

1)

Bestimmen Sie die kritischen Stellen und die lokalen Extrema von \(f\) .

2)

Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum von \(f\) auf der Menge $$ Q=\left\{ (x,y)\in { ℝ }^{ 2 }|\quad { ||(x,y)|| }_{ \infty  }\le 1 \right\} . $$

Hinweis: Bei der 2) muss \(∂Q\) gesondert betrachtet werden. Dazu muss der Rand parametrisiert werden, beispielsweise wie folgt:

$$ ∂Q=\left\{ \left( t,-1 \right) |-1\le t\le 1 \right\} \cup \left\{ \left( 1,t \right) |-1\le t\le 1 \right\} \cup \left\{ \left( t,1 \right) |-1\le t\le 1 \right\} \cup \left\{ \left( -1,t \right) |-1\le t\le 1 \right\} . $$

Die 1) scheint mir nicht so schwer aber die 2) verstehe ich gar nicht.

Comments

Du kannst doch bei 2) die bei 1) gefundenen lokalen Extrema wiederverwerten (sofern sie im Bereich Q liegen).

Dann musst du einfach noch schauen, ob es auf dem Rand von Q einen höheren oder tieferen Wert findest. D.h. auch auf dem Rand noch die Extrema (Stellen und Werte) ausrechnen und vergleichen mit der rezyklierten Werten.

Zeichne dir den Rand von Q mal auf, damit du Übersicht über das Gebiet hast, um das es geht.

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Hallo :) Ich habe bei der 1) nur eine kritische Stelle herausfinden können. Gibt es weitere ?Und dieser ist ein Sattelpunkt. Kann es stimmen ?LG

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ich habe folgende kritische Punkte: $$x= - \frac{1}{3}$$ und $$x= \frac{1}{3}$$ .
Und einen lokalen Extrempunkt: $$min \{ x^2-xy+y^2+x-y-2 \} = - \frac{7}{3}$$ bei o.g. Punkt.

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Wie bist du auf die kritischen Punkte gekommen? Ich hab die Ableitungen der Funktion einmal nach x und einmal nach y gebildet und dann das ganze 0 gesetzt. Nur kommen bei mir Werte raus wo immer x und y dabei sind.

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Naja, also hier habe ich die Funktion mal geplottet:

 

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@ir414: hast recht, habe mich vertippt, heißt natürlich

 $$x=-\frac{1}{3}$$

$$y=\frac{1}{3}$$

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Ok, danke das habe ich aus rausbekommen.