Analysis B, Norm; zeigen das eine Norm auf R^n definiert ist

Question

Ich weiß nicht wie ich die Aufgabe Lösen soll, da wir so etwas bisher noch nicht gemacht haben.

Über eine Antwort würde ich mich freuen.

Comments

Sollen wir auf Definitheit, Homogenität und Δ-Umgebung testen oder muss man was anderes machen?

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Ja, das ist zu tun.

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Lässt sich das max{|x1|, . . . , |xn|} in eine Summenform bringen wie etwa

||x||_∞ =          ^p√∑ⁿ_k |x|^p   

^?

                        

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Naja, hier wäre p Formal gesehen = unendlich, man müsste das also im Grenzwert p---> ∞ betrachten. Siehe z.B

https://de.wikipedia.org/wiki/P-Norm#Maximumsnorm

Das ist hier aber gar nicht notwendig, du sollst die gegebene Form mit dem Maximum nehmen und die 3 Eigenschaften überprüfen. Das läuft im Grunde genommen auf die Rechenregeln für das Maximum einer Menge hinaus.

Answer 1

Zeigen Sie, dass ||.||_unendlich: Rⁿ -> R definiert durch
||(x1, x2, …)||_unendlich = max{|x1|, |x2|, …}
eine Norm definiert.

Wikipedia Norm:  Definitheit, Homogenität, Dreiecksungleichung.

Definitheit:  ||x||_unendlich = 0 => max{|x1|, |x2|, …} = 0 => x = 0
Homogenität:  ||ax||_unendlich = max{|ax1|, |ax2|, …} = |a| max{|x1|, |x2|, …} = |a| * ||x||_unendlich
Dreiecksungleichung:  ||x+y||_unendlich = max{|x1+y1|, |x2+y2|, …} <= max{|x1|, |x2|, …} + max{|y1|, |y2|, …} = ||x||_unendlich + ||y||_unendlich

Während die ersten beiden Punkte leicht einzusehen sind, müsste wohl der dritte Punkt noch bewiesen werden.