auch eine Norm auf \mathcal{R}(Q) definiert?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wird durch
\( \|f\|:=\int \limits_{Q}|f(x)| \mathrm{d} x, \quad f \in \mathcal{R}(Q), \)
auch eine Norm auf \( \mathcal{R}(Q) \) definiert?

Problem/Ansatz:

Für den Raum der stetigen Funktionen geht es. Hier bin ich der Meinung, dass es nicht geht, aber irgendwie finde ich kein geeignetes Beispiel. Das Bespiel sollte doch eine Funktion sein, die integrierbar aber nicht stetig ist oder?

Answer 1

Hallo,

eine ganz genaue Antwort kann es nur geben, wenn man weiß, wie R(Q) definiert ist.

Aber sehr wahrscheinlich bist Du auf dem richtigen Weg: R(Q) bezeichnet den Raum der integrierbaren Funktionen auf einer Menge Q, vielleicht ein Quader?

Dann kann man eine Funktion f dadurch definieren, dass f in einem Punkt \(a \in Q\) den Wert 1 annimmt und sonst überall den Wert 0. Dann ist f integrierbar und es gilt \(\|f\|=0\), aber f ist nicht die Null-Funktion. Also ein Verstoß gegen die Definitheit.

Gruß Mathhilf