Zeigen Sie, dass durch [...] eine Norm auf R² definiert ist

Question

meine Antworten, nur dass ich nicht weiß ob inhaltliche und formale Fehler drin sind und ob vor allem bei drittens die Dreiecksungleichung richtig verwendet habe um diese Norm auszuschließen als definiert? Danke  :)

1.

$$  \left\|  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \right\| :=\left| 3x-2y \right| \quad für\quad  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \quad { R }^{ 2 }\\$$ 

$$\\ i)\quad Definitheit\\ \\ \left\| x \right\| =0\quad \Rightarrow \quad x=0\\ \\ \left| 3x-2y \right| =0\quad \\ \\ Gegenbeispiel:\quad \left\|  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \right\| =0\quad \quad \overset { z.B. }{ \Rightarrow  } \quad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  =\begin{pmatrix} 1 \\ \frac { 3 }{ 2 }  \end{pmatrix}  \neq  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}  $$

2.

$$ \left\|  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \right\| :=\left| y \right| +\left| 3x - 2y \right| \quad für\quad  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \in \quad { R }^{ 2 }$$  $$ i)\quad Definitheit \\ a) \\ (\left| y \right| \ge 0\quad ,\quad \left| 3x - 2y \right| \ge 0)\quad \rightarrow \quad \left| y \right| +\left| 3x- 2y \right| \ge 0\\ \\ \left\|  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \right\| \ge 0\\ \\ b)\\ \\ \left| y \right| +\left| 3x-2y \right| =0\\ \\ (\left| y \right| =0\quad \rightarrow \quad \left| 3x-0 \right| =0\quad \rightarrow \quad \left| x \right| =0)\quad \rightarrow \quad \left| y \right| =0\quad \wedge \quad \left| x \right| =0\\ \rightarrow \quad y=0\quad \wedge \quad x=0\\ \\ \left\| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \right\| =0\quad \quad \Rightarrow \quad  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ ii)\quad Positive\quad Homogenität\quad \\ \\ \left\|  \begin{pmatrix} \alpha x \\ \alpha y \end{pmatrix}   \right\| =\left| \alpha y \right| +\left| 3\alpha x-2\alpha y \right| =\left| \alpha (y) \right| +\left| \alpha (3x-2y) \right| =\left| \alpha  \right| \left| y \right| +\left| \alpha  \right| \left| 3x-2y \right| \\ =\left| \alpha  \right| \left( \left| y \right| +\left| 3x-2y \right|  \right) =\left| \alpha  \right| \left\|  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \right\| \quad für\quad alle\quad \alpha \in R\\ \\ iii)\quad Dreiecksungleichung\\ \\ \left\| \begin{pmatrix} x\quad +\quad { u } \\ y\quad +\quad v \end{pmatrix}  \right\| =\left| (y+v) \right| +\left| (3x+3u)-(2y+2v) \right| =\left| y+v \right| +\left| 3x-2y+3u-2v \right| \\ \\ \le \left| y \right| +\left| v \right| +\left| 3x-2y \right| +\left| 3u-2v \right| =\left| y \right| +\left| 3x-2y \right| +\left| v \right| +\left| 3u-2v \right| =\left\|  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \right\| +\left\|  \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}  \right\| $$

3.

$$\left\|  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \right\| :=\left| y \right| +\left| 3x²-2y \right| \quad \quad für\quad  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \quad \in \quad { R }^{ 2 }\\ \\ iii)\quad Dreiecksungleichung\quad \\ \left\|  \begin{pmatrix} x\quad +\quad { u } \\ y\quad +\quad v \end{pmatrix}   \right\| =\left| (y+v) \right| +\left| (3(x+u)²-(2y+2v) \right| =\left| (y+v) \right| +\left| (3x²+6xu+3u²)-(2y+2v) \right| \\ \left| y+v \right| +\left| 3x²-2y+3u²-2v+6xu \right| \le  \left| y \right| +\left| v \right| +\left| 3x²-2y \right| +\left| 3u²-2v \right| +\left| 6xu \right| \\ =\left| y \right| +\left| 3x²-2y \right| +\left| v \right| +\left| 3u²-2v \right| +\left| 6xu \right| \quad \neq \quad \left\| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}  \right\| +\left\|  \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}   \right\|$$

Comments

Warum schreibst du ganz am Ende ≠ und nicht ≥  ? 

Wo hast du denn den Wert der Summe rechts überhaupt ausgerechnet? 

Habe noch nicht angefangen nachzurechnen. 

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Hast du mit dem ersten Punkt nicht gezeigt, dass es keine Norm ist?

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Lu: ja da habe ich drüber nachgedacht und dachte dass ich es vielleicht auch mit ungleich ausdrücken könnte danke ich ändere das. Was meinst du mit der Summe?

Das sind drei vers. Aufgaben sorry das sieht man wohl nicht so gut

Answer 1

1. Hat Marvin schon erwähnt.

Du hast gezeigt, dass das keine Norm ist, weil nicht positiv definit. 

Bei 2. und 3. musst du schlüssig zeigen, dass die positiv definit sind. 

Folgendermassen, wäre 2.i) logisch klarer: 

Beträge können nicht kleiner als 0 sein. Ihre Summe muss mindestens 0 sein. Wenn ein Summand nicht 0 ist, ist auch die Summe grösser als 0. 

| y | + | 2x -3y | = 0

==> | y| = 0  und |2x - 2y| = 0

==> y = 0 und 2x - 2*0 = 0 

===> y = 0 und 2x = 0

==> y = 0 und x = 0.

Also ist 2. positiv definit. 2.i) fertig.

3.i) Kannst du analog machen.

2. ii) nennt man absolute Homogenität. Da ist dann der Betrag von alpha eine natürliche Sache. Wenn du positive Homogenität schreibst, fragt man sich, wozu der Betrag um alpha gut sein soll. 

2. iii) sieht gut aus.

3. i) und ii) hast du nicht hingeschrieben.

3. iii) 

iii) Dreiecksungleichung 

$$ \quad \\ \left\|  \begin{pmatrix} x\quad +\quad { u } \\ y\quad +\quad v \end{pmatrix}   \right\| =\left| (y+v) \right| +\left| (3(x+u)²-(2y+2v) \right| =\left| (y+v) \right| +\left| (3x²+6xu+3u²)-(2y+2v) \right| \\ \left| y+v \right| +\left| 3x²-2y+3u²-2v+6xu \right| \le  \left| y \right| +\left| v \right| +\left| 3x²-2y \right| +\left| 3u²-2v \right| +\left| 6xu \right| \\ =\left| y \right| +\left| 3x²-2y \right| +\left| v \right| +\left| 3u²-2v \right| +\left| 6xu \right| \quad $$

ABER: 6xu passt nun nicht zum Wert der Summe rechts , denn: 

$$\left| y \right| +\left| 3x²-2y \right| +\left| v \right| +\left| 3u²-2v \right|  = \quad \left\|  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}   \right\| +\left\|  \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}  \right\| $$ 

Suche nun ein Gegenbeispiel für iii) oder allenfalls schon eines für 3.i) oder 3.ii) . Bei 3.ii) könnte das schneller gehen. 

Comments

Super danke! Ich habe positive Homogenität geschrieben weil es so im Lehrbuch habe aber habe es verstanden was du meinst. Wieso heißt es im Lehrbuch positiv hat das irgendeine Bedeutung?

Habe noch eine Frage: muss ich trotzdem alle drei Punkte durchgehen wenn bei einem schon rauskommt das die Eigenschaft nicht erfüllt wird? 

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Nein. Das musst du nicht. Wenn eine Eigenschaft widerlegt ist, ist es keine Norm und du bist fertig. 

Du musst schon das beweisen, was in deinem Lehrbuch steht. Stehen in eurem Lehrbuch genau die gleichen Formeln wie in der Wikipedia? Wenn ja, ist die Rechnung gleich. Wenn nein, musst du eure nehmen. Am besten dann mal eure Formel abschreiben und angeben, damit wir vom Gleichen sprechen. 

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So ist es geschrieben:

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Interessant. Die Formeln sehen gleich aus wie in Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)#Definition 

An der Rechnung ändert sich nichts. Du kannst und sollst es so anschreiben, wie in eurem Buch oder einen Dozenten mal darauf ansprechen, welche Begriffe du verwenden sollst. 

https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Norm_(Mathematik)&action=history zeigt, dass der Beitrag zur Norm schon sehr oft geändert wurde. Eine Diskussion der Definition kann ich in letzter Zeit nicht erkennen.